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Theorem mulgt0sr 6664
Description: The product of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulgt0sr ((0R <R A 0R <R B) → 0R <R (A ·R B))

Proof of Theorem mulgt0sr
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 6626 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
21brel 4335 . . . 4 (0R <R A → (0R R A R))
32simprd 107 . . 3 (0R <R AA R)
41brel 4335 . . . 4 (0R <R B → (0R R B R))
54simprd 107 . . 3 (0R <R BB R)
63, 5anim12i 321 . 2 ((0R <R A 0R <R B) → (A R B R))
7 df-nr 6615 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
8 breq2 3759 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (0R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ 0R <R A))
98anbi1d 438 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((0R <R [⟨x, y⟩] ~R 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (0R <R A 0R <R [⟨z, w⟩] ~R )))
10 oveq1 5462 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ))
1110breq2d 3767 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ 0R <R (A ·R [⟨z, w⟩] ~R )))
129, 11imbi12d 223 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (((0R <R [⟨x, y⟩] ~R 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) → 0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ ((0R <R A 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) → 0R <R (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ))))
13 breq2 3759 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (0R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ 0R <R B))
1413anbi2d 437 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((0R <R A 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (0R <R A 0R <R B)))
15 oveq2 5463 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = (A ·R B))
1615breq2d 3767 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (0R <R (A ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ 0R <R (A ·R B)))
1714, 16imbi12d 223 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (((0R <R A 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) → 0R <R (A ·R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ ((0R <R A 0R <R B) → 0R <R (A ·R B))))
18 gt0srpr 6636 . . . . 5 (0R <R [⟨x, y⟩] ~Ry<P x)
19 gt0srpr 6636 . . . . 5 (0R <R [⟨z, w⟩] ~Rw<P z)
2018, 19anbi12i 433 . . . 4 ((0R <R [⟨x, y⟩] ~R 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (y<P x w<P z))
21 ltexpri 6585 . . . . . . 7 (y<P xv P (y +P v) = x)
22 ltexpri 6585 . . . . . . . . 9 (w<P zu P (w +P u) = z)
23 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f P g P) → (f +P g) P)
2423adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) (f P g P)) → (f +P g) P)
25 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y +P v) = x)
26 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((x P y P) (z P w P)) → y P)
2726ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → y P)
28 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → v P)
2924, 27, 28caovcld 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y +P v) P)
3025, 29eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → x P)
31 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) → w P)
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → w P)
33 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x P w P) → (x ·P w) P)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (x ·P w) P)
35 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) → z P)
3635adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → z P)
37 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y P z P) → (y ·P z) P)
3827, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y ·P z) P)
3924, 34, 38caovcld 5596 . . . . . . . . . . . 12 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
40 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → u P)
41 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . 13 ((v P u P) → (v ·P u) P)
4228, 40, 41syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (v ·P u) P)
43 ltaddpr 6569 . . . . . . . . . . . 12 ((((x ·P w) +P (y ·P z)) P (v ·P u) P) → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)))
4439, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)))
45 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (w +P u) = z)
46 oveq12 5464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y +P v) = x (w +P u) = z) → ((y +P v) ·P (w +P u)) = (x ·P z))
4746oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y +P v) = x (w +P u) = z) → (((y +P v) ·P (w +P u)) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))) = ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))))
4825, 45, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((y +P v) ·P (w +P u)) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))) = ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))))
49 distrprg 6562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y P w P u P) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
5027, 32, 40, 49syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
51 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((w +P u) = z → (y ·P (w +P u)) = (y ·P z))
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((u P (w +P u) = z) → (y ·P (w +P u)) = (y ·P z))
5352adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y ·P (w +P u)) = (y ·P z))
5450, 53eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y ·P w) +P (y ·P u)) = (y ·P z))
5554oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((y ·P w) +P (y ·P u)) +P ((v ·P w) +P (v ·P u))) = ((y ·P z) +P ((v ·P w) +P (v ·P u))))
56 distrprg 6562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f P g P P) → (f ·P (g +P )) = ((f ·P g) +P (f ·P )))
5756adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) (f P g P P)) → (f ·P (g +P )) = ((f ·P g) +P (f ·P )))
58 mulcomprg 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f P g P) → (f ·P g) = (g ·P f))
5958adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) (f P g P)) → (f ·P g) = (g ·P f))
6057, 27, 28, 32, 24, 59caovdir2d 5619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P w) = ((y ·P w) +P (v ·P w)))
6157, 27, 28, 40, 24, 59caovdir2d 5619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P u) = ((y ·P u) +P (v ·P u)))
6260, 61oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((y +P v) ·P w) +P ((y +P v) ·P u)) = (((y ·P w) +P (v ·P w)) +P ((y ·P u) +P (v ·P u))))
63 distrprg 6562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y +P v) P w P u P) → ((y +P v) ·P (w +P u)) = (((y +P v) ·P w) +P ((y +P v) ·P u)))
6429, 32, 40, 63syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P (w +P u)) = (((y +P v) ·P w) +P ((y +P v) ·P u)))
65 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y P w P) → (y ·P w) P)
6627, 32, 65syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y ·P w) P)
67 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y P u P) → (y ·P u) P)
6827, 40, 67syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (y ·P u) P)
69 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v P w P) → (v ·P w) P)
7028, 32, 69syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (v ·P w) P)
71 addcomprg 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((f P g P) → (f +P g) = (g +P f))
7271adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) (f P g P)) → (f +P g) = (g +P f))
73 addassprg 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((f P g P P) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
7473adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) (f P g P P)) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
7566, 68, 70, 72, 74, 42, 24caov4d 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((y ·P w) +P (y ·P u)) +P ((v ·P w) +P (v ·P u))) = (((y ·P w) +P (v ·P w)) +P ((y ·P u) +P (v ·P u))))
7662, 64, 753eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P (w +P u)) = (((y ·P w) +P (y ·P u)) +P ((v ·P w) +P (v ·P u))))
7770, 38, 42, 72, 74caov12d 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) = ((y ·P z) +P ((v ·P w) +P (v ·P u))))
7855, 76, 773eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P (w +P u)) = ((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))))
79 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y +P v) = x → ((y +P v) ·P w) = (x ·P w))
8079adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((v P (y +P v) = x) → ((y +P v) ·P w) = (x ·P w))
8180ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y +P v) ·P w) = (x ·P w))
8260, 81eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y ·P w) +P (v ·P w)) = (x ·P w))
8378, 82oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((y +P v) ·P (w +P u)) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))) = (((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) +P (x ·P w)))
8448, 83eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))) = (((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) +P (x ·P w)))
85 mulclpr 6551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x P z P) → (x ·P z) P)
8630, 36, 85syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (x ·P z) P)
87 addassprg 6553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x ·P z) P (y ·P w) P (v ·P w) P) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P (v ·P w)) = ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))))
8886, 66, 70, 87syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P (v ·P w)) = ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))))
89 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((x ·P z) P (y ·P w) P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
9086, 66, 89syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
91 addcomprg 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x ·P z) +P (y ·P w)) P (v ·P w) P) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P (v ·P w)) = ((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
9290, 70, 91syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P (v ·P w)) = ((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
9388, 92eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P z) +P ((y ·P w) +P (v ·P w))) = ((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
9424, 38, 42caovcld 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((y ·P z) +P (v ·P u)) P)
95 addassprg 6553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v ·P w) P (x ·P w) P ((y ·P z) +P (v ·P u)) P) → (((v ·P w) +P (x ·P w)) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) = ((v ·P w) +P ((x ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u)))))
9670, 34, 94, 95syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((v ·P w) +P (x ·P w)) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) = ((v ·P w) +P ((x ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u)))))
9770, 94, 34, 72, 74caov32d 5623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) +P (x ·P w)) = (((v ·P w) +P (x ·P w)) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))))
98 addassprg 6553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((x ·P w) P (y ·P z) P (v ·P u) P) → (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)) = ((x ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))))
9934, 38, 42, 98syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)) = ((x ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))))
10099oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((v ·P w) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))) = ((v ·P w) +P ((x ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u)))))
10196, 97, 1003eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((v ·P w) +P ((y ·P z) +P (v ·P u))) +P (x ·P w)) = ((v ·P w) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))))
10284, 93, 1013eqtr3d 2077 . . . . . . . . . . . 12 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))) = ((v ·P w) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))))
10324, 39, 42caovcld 5596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)) P)
104 addcanprg 6588 . . . . . . . . . . . . 13 (((v ·P w) P ((x ·P z) +P (y ·P w)) P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)) P) → (((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))) = ((v ·P w) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))))
10570, 90, 103, 104syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → (((v ·P w) +P ((x ·P z) +P (y ·P w))) = ((v ·P w) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u))))
106102, 105mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P (v ·P u)))
10744, 106breqtrrd 3781 . . . . . . . . . 10 (((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) (u P (w +P u) = z)) → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w)))
108107rexlimdvaa 2428 . . . . . . . . 9 ((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) → (u P (w +P u) = z → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
10922, 108syl5 28 . . . . . . . 8 ((((x P y P) (z P w P)) (v P (y +P v) = x)) → (w<P z → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
110109rexlimdvaa 2428 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P)) → (v P (y +P v) = x → (w<P z → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w)))))
11121, 110syl5 28 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → (y<P x → (w<P z → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w)))))
112111impd 242 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → ((y<P x w<P z) → ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
113 mulsrpr 6634 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
114113breq2d 3767 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → (0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ 0R <R [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ))
115 gt0srpr 6636 . . . . . 6 (0R <R [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ↔ ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w)))
116114, 115syl6bb 185 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → (0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ ((x ·P w) +P (y ·P z))<P ((x ·P z) +P (y ·P w))))
117112, 116sylibrd 158 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → ((y<P x w<P z) → 0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R )))
11820, 117syl5bi 141 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((0R <R [⟨x, y⟩] ~R 0R <R [⟨z, w⟩] ~R ) → 0R <R ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R )))
1197, 12, 17, 1182ecoptocl 6130 . 2 ((A R B R) → ((0R <R A 0R <R B) → 0R <R (A ·R B)))
1206, 119mpcom 32 1 ((0R <R A 0R <R B) → 0R <R (A ·R B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281  0Rc0r 6282   ·R cmr 6286   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-mr 6617  df-ltr 6618  df-0r 6619
This theorem is referenced by:  axpre-mulgt0  6731
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