ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Structured version   GIF version

Theorem gt0srpr 6636
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr (0R <R [⟨A, B⟩] ~RB<P A)

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 6623 . . . . 5 ~R Er (P × P)
2 erdm 6052 . . . . 5 ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 dom ~R = (P × P)
4 ltrelsr 6626 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
54brel 4335 . . . . . 6 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R → (0R R [⟨A, B⟩] ~R R))
65simprd 107 . . . . 5 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R → [⟨A, B⟩] ~R R)
7 df-nr 6615 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
86, 7syl6eleq 2127 . . . 4 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R → [⟨A, B⟩] ~R ((P × P) / ~R ))
9 ecelqsdm 6112 . . . 4 ((dom ~R = (P × P) [⟨A, B⟩] ~R ((P × P) / ~R )) → ⟨A, B (P × P))
103, 8, 9sylancr 393 . . 3 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R → ⟨A, B (P × P))
11 opelxp 4317 . . 3 (⟨A, B (P × P) ↔ (A P B P))
1210, 11sylib 127 . 2 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R → (A P B P))
13 ltrelpr 6487 . . . 4 <P ⊆ (P × P)
1413brel 4335 . . 3 (B<P A → (B P A P))
1514ancomd 254 . 2 (B<P A → (A P B P))
16 df-0r 6619 . . . . 5 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
1716breq1i 3762 . . . 4 (0R <R [⟨A, B⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨A, B⟩] ~R )
18 1pr 6534 . . . . 5 1P P
19 ltsrprg 6635 . . . . 5 (((1P P 1P P) (A P B P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨A, B⟩] ~R ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
2018, 18, 19mpanl12 412 . . . 4 ((A P B P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨A, B⟩] ~R ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
2117, 20syl5bb 181 . . 3 ((A P B P) → (0R <R [⟨A, B⟩] ~R ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
22 ltaprg 6590 . . . . 5 ((B P A P 1P P) → (B<P A ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
2318, 22mp3an3 1220 . . . 4 ((B P A P) → (B<P A ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
2423ancoms 255 . . 3 ((A P B P) → (B<P A ↔ (1P +P B)<P (1P +P A)))
2521, 24bitr4d 180 . 2 ((A P B P) → (0R <R [⟨A, B⟩] ~RB<P A))
2612, 15, 25pm5.21nii 619 1 (0R <R [⟨A, B⟩] ~RB<P A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  dom cdm 4288  (class class class)co 5455   Er wer 6039  [cec 6040   / cqs 6041  Pcnp 6275  1Pc1p 6276   +P cpp 6277  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281  0Rc0r 6282   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  6661  mulgt0sr  6664
  Copyright terms: Public domain W3C validator