ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   GIF version

Theorem axpre-mulgt0 6580
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 6607. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((A B ℝ) → ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6540 . 2 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6540 . 2 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 breq2 3738 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (0 <x, 0R⟩ ↔ 0 < A))
43anbi1d 441 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) ↔ (0 < A 0 <y, 0R⟩)))
5 oveq1 5439 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = (A · ⟨y, 0R⟩))
65breq2d 3746 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 223 . 2 (⟨x, 0R⟩ = A → (((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A 0 <y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩))))
8 breq2 3738 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (0 <y, 0R⟩ ↔ 0 < B))
98anbi2d 440 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((0 < A 0 <y, 0R⟩) ↔ (0 < A 0 < B)))
10 oveq2 5440 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (A · ⟨y, 0R⟩) = (A · B))
1110breq2d 3746 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → (0 < (A · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · B)))
129, 11imbi12d 223 . 2 (⟨y, 0R⟩ = B → (((0 < A 0 <y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B))))
13 df-0 6531 . . . . . 6 0 = ⟨0R, 0R
1413breq1i 3741 . . . . 5 (0 <x, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <x, 0R⟩)
15 ltresr 6549 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
1614, 15bitri 173 . . . 4 (0 <x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
1713breq1i 3741 . . . . 5 (0 <y, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <y, 0R⟩)
18 ltresr 6549 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
1917, 18bitri 173 . . . 4 (0 <y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
20 mulgt0sr 6520 . . . 4 ((0R <R x 0R <R y) → 0R <R (x ·R y))
2116, 19, 20syl2anb 275 . . 3 ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0R <R (x ·R y))
2213a1i 9 . . . . 5 ((x R y R) → 0 = ⟨0R, 0R⟩)
23 mulresr 6548 . . . . 5 ((x R y R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x ·R y), 0R⟩)
2422, 23breq12d 3747 . . . 4 ((x R y R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩))
25 ltresr 6549 . . . 4 (⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩ ↔ 0R <R (x ·R y))
2624, 25syl6bb 185 . . 3 ((x R y R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0R <R (x ·R y)))
2721, 26syl5ibr 145 . 2 ((x R y R) → ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 2560 1 ((A B ℝ) → ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  Rcnr 6151  0Rc0r 6152   ·R cmr 6156   <R cltr 6157  cr 6523  0cc0 6524   < cltrr 6528   · cmul 6529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-iplp 6316  df-imp 6317  df-iltp 6318  df-enr 6470  df-nr 6471  df-plr 6472  df-mr 6473  df-ltr 6474  df-0r 6475  df-m1r 6477  df-c 6530  df-0 6531  df-r 6534  df-mul 6536  df-lt 6537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator