ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   GIF version

Theorem axpre-mulgt0 6579
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 6607. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((A B ℝ) → ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6539 . 2 (A ℝ ↔ x Rx, 0R⟩ = A)
2 elreal 6539 . 2 (B ℝ ↔ y Ry, 0R⟩ = B)
3 breq2 3734 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (0 <x, 0R⟩ ↔ 0 < A))
43anbi1d 438 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) ↔ (0 < A 0 <y, 0R⟩)))
5 oveq1 5434 . . . 4 (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = (A · ⟨y, 0R⟩))
65breq2d 3742 . . 3 (⟨x, 0R⟩ = A → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 223 . 2 (⟨x, 0R⟩ = A → (((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A 0 <y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩))))
8 breq2 3734 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (0 <y, 0R⟩ ↔ 0 < B))
98anbi2d 437 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → ((0 < A 0 <y, 0R⟩) ↔ (0 < A 0 < B)))
10 oveq2 5435 . . . 4 (⟨y, 0R⟩ = B → (A · ⟨y, 0R⟩) = (A · B))
1110breq2d 3742 . . 3 (⟨y, 0R⟩ = B → (0 < (A · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0 < (A · B)))
129, 11imbi12d 223 . 2 (⟨y, 0R⟩ = B → (((0 < A 0 <y, 0R⟩) → 0 < (A · ⟨y, 0R⟩)) ↔ ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B))))
13 df-0 6530 . . . . . 6 0 = ⟨0R, 0R
1413breq1i 3737 . . . . 5 (0 <x, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <x, 0R⟩)
15 ltresr 6548 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
1614, 15bitri 173 . . . 4 (0 <x, 0R⟩ ↔ 0R <R x)
1713breq1i 3737 . . . . 5 (0 <y, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <y, 0R⟩)
18 ltresr 6548 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
1917, 18bitri 173 . . . 4 (0 <y, 0R⟩ ↔ 0R <R y)
20 mulgt0sr 6517 . . . 4 ((0R <R x 0R <R y) → 0R <R (x ·R y))
2116, 19, 20syl2anb 275 . . 3 ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0R <R (x ·R y))
2213a1i 9 . . . . 5 ((x R y R) → 0 = ⟨0R, 0R⟩)
23 mulresr 6547 . . . . 5 ((x R y R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x ·R y), 0R⟩)
2422, 23breq12d 3743 . . . 4 ((x R y R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩))
25 ltresr 6548 . . . 4 (⟨0R, 0R⟩ < ⟨(x ·R y), 0R⟩ ↔ 0R <R (x ·R y))
2624, 25syl6bb 185 . . 3 ((x R y R) → (0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ↔ 0R <R (x ·R y)))
2721, 26syl5ibr 145 . 2 ((x R y R) → ((0 <x, 0R 0 <y, 0R⟩) → 0 < (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 2558 1 ((A B ℝ) → ((0 < A 0 < B) → 0 < (A · B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226   wcel 1369  cop 3345   class class class wbr 3730  (class class class)co 5427  Rcnr 6146  0Rc0r 6147   ·R cmr 6151   <R cltr 6152  cr 6522  0cc0 6523   < cltrr 6527   · cmul 6528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 870  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-eprel 3992  df-id 3996  df-po 3999  df-iso 4000  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-1o 5907  df-2o 5908  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-er 6008  df-ec 6010  df-qs 6014  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155  df-lti 6156  df-plpq 6192  df-mpq 6193  df-enq 6195  df-nqqs 6196  df-plqqs 6197  df-mqqs 6198  df-1nqqs 6199  df-rq 6200  df-ltnqqs 6201  df-enq0 6268  df-nq0 6269  df-0nq0 6270  df-plq0 6271  df-mq0 6272  df-inp 6309  df-i1p 6310  df-iplp 6311  df-imp 6312  df-iltp 6313  df-enr 6467  df-nr 6468  df-plr 6469  df-mr 6470  df-ltr 6471  df-0r 6472  df-m1r 6474  df-c 6529  df-0 6530  df-r 6533  df-mul 6535  df-lt 6536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator