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Theorem ltexprlemdisj 6579
 Description: Our constructed difference is disjoint. Lemma for ltexpri 6586. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
Assertion
Ref Expression
ltexprlemdisj (A<P B𝑞 Q ¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)))
Distinct variable groups:   x,y,𝑞,A   x,B,y,𝑞   x,𝐶,y,𝑞

Proof of Theorem ltexprlemdisj
Dummy variables z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6382 . . . . . 6 <Q Or Q
2 ltrelnq 6349 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2son2lpi 4664 . . . . 5 ¬ (y <Q z z <Q y)
4 ltrelpr 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <P ⊆ (P × P)
54brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A<P B → (A P B P))
65simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14 (A<P BB P)
7 prop 6457 . . . . . . . . . . . . . 14 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (A<P B → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
9 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P (y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑞) (2ndB)) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
108, 9syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((A<P B (y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑞) (2ndB)) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
11103expb 1104 . . . . . . . . . . 11 ((A<P B ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑞) (2ndB))) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
1211adantlr 446 . . . . . . . . . 10 (((A<P B 𝑞 Q) ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑞) (2ndB))) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
1312adantrll 453 . . . . . . . . 9 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z +Q 𝑞) (2ndB))) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
1413adantrrl 455 . . . . . . . 8 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞))
15 ltanqg 6384 . . . . . . . . . 10 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
1615adantl 262 . . . . . . . . 9 ((((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
175simpld 105 . . . . . . . . . . . . 13 (A<P BA P)
18 prop 6457 . . . . . . . . . . . . 13 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (A<P B → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
20 elprnqu 6464 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P y (2ndA)) → y Q)
2119, 20sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((A<P B y (2ndA)) → y Q)
2221ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 (((A<P B 𝑞 Q) (y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) → y Q)
2322adantrr 448 . . . . . . . . 9 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → y Q)
24 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
2519, 24sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((A<P B z (1stA)) → z Q)
2625ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 (((A<P B 𝑞 Q) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) → z Q)
2726adantrl 447 . . . . . . . . 9 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → z Q)
28 simplr 482 . . . . . . . . 9 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → 𝑞 Q)
29 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . 10 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
3029adantl 262 . . . . . . . . 9 ((((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
3116, 23, 27, 28, 30caovord2d 5612 . . . . . . . 8 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → (y <Q z ↔ (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑞)))
3214, 31mpbird 156 . . . . . . 7 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → y <Q z)
33 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA) y (2ndA)) → z <Q y)
3419, 33syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((A<P B z (1stA) y (2ndA)) → z <Q y)
35343com23 1109 . . . . . . . . . . 11 ((A<P B y (2ndA) z (1stA)) → z <Q y)
36353expb 1104 . . . . . . . . . 10 ((A<P B (y (2ndA) z (1stA))) → z <Q y)
3736adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((A<P B 𝑞 Q) (y (2ndA) z (1stA))) → z <Q y)
3837adantrlr 454 . . . . . . . 8 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z (1stA))) → z <Q y)
3938adantrrr 456 . . . . . . 7 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → z <Q y)
4032, 39jca 290 . . . . . 6 (((A<P B 𝑞 Q) ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))) → (y <Q z z <Q y))
4140ex 108 . . . . 5 ((A<P B 𝑞 Q) → (((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) → (y <Q z z <Q y)))
423, 41mtoi 589 . . . 4 ((A<P B 𝑞 Q) → ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
4342alrimivv 1752 . . 3 ((A<P B 𝑞 Q) → yz ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
44 ltexprlem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
4544ltexprlemell 6571 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 (1st𝐶) ↔ (𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))))
4644ltexprlemelu 6572 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 (2nd𝐶) ↔ (𝑞 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB))))
4745, 46anbi12i 433 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ ((𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) (𝑞 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)))))
48 anandi 524 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 Q (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)))) ↔ ((𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) (𝑞 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)))))
4947, 48bitr4i 176 . . . . . . . . 9 ((𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ (𝑞 Q (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)))))
5049baib 827 . . . . . . . 8 (𝑞 Q → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)))))
51 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (y (1stA) ↔ z (1stA)))
52 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (y = z → (y +Q 𝑞) = (z +Q 𝑞))
5352eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (y = z → ((y +Q 𝑞) (2ndB) ↔ (z +Q 𝑞) (2ndB)))
5451, 53anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (y = z → ((y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)) ↔ (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
5554cbvexv 1792 . . . . . . . . 9 (y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB)) ↔ z(z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))
5655anbi2i 430 . . . . . . . 8 ((y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) y(y (1stA) (y +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
5750, 56syl6bb 185 . . . . . . 7 (𝑞 Q → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))))
58 eeanv 1804 . . . . . . 7 (yz((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
5957, 58syl6bbr 187 . . . . . 6 (𝑞 Q → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ yz((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))))
6059notbid 591 . . . . 5 (𝑞 Q → (¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ ¬ yz((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))))
61 alnex 1385 . . . . . . 7 (z ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ ¬ z((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
6261albii 1356 . . . . . 6 (yz ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ y ¬ z((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
63 alnex 1385 . . . . . 6 (y ¬ z((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ ¬ yz((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
6462, 63bitri 173 . . . . 5 (yz ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))) ↔ ¬ yz((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB))))
6560, 64syl6bbr 187 . . . 4 (𝑞 Q → (¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ yz ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))))
6665adantl 262 . . 3 ((A<P B 𝑞 Q) → (¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)) ↔ yz ¬ ((y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) (z (1stA) (z +Q 𝑞) (2ndB)))))
6743, 66mpbird 156 . 2 ((A<P B 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)))
6867ralrimiva 2386 1 (A<P B𝑞 Q ¬ (𝑞 (1st𝐶) 𝑞 (2nd𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  {crab 2304  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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