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Theorem prnmaxl 6586
 Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 6579 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
2 elinp 6572 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))))
3 simpr1l 961 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
42, 3sylbi 114 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
5 eleq1 2100 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐿𝐵𝐿))
6 breq1 3767 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥𝐵 <Q 𝑥))
76anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
87rexbidv 2327 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
95, 8bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ↔ (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
109rspcv 2652 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
11 bi1 111 . . . . . . 7 ((𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
124, 10, 11syl56 30 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
1312impd 242 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
141, 13mpcom 32 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))
15 df-rex 2312 . . . 4 (∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
1614, 15sylib 127 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
17 ltrelnq 6463 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4392 . . . . . . . 8 (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵Q𝑥Q))
1918simprd 107 . . . . . . 7 (𝐵 <Q 𝑥𝑥Q)
2019pm4.71ri 372 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥Q𝐵 <Q 𝑥))
2120anbi1i 431 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿))
22 ancom 253 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
23 anass 381 . . . . 5 (((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 199 . . . 4 ((𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2524exbii 1496 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2616, 25sylibr 137 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
27 df-rex 2312 . 2 (∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
2826, 27sylibr 137 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   ⊆ wss 2917  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  Qcnq 6378
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