ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaxl Structured version   GIF version

Theorem prnmaxl 6336
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x 𝐿 B <Q x)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 6329 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → B Q)
2 elinp 6322 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (y Q y 𝐿 x Q x 𝑈)) ((y Q (y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)) x Q (x 𝑈y Q (y <Q x y 𝑈))) y Q ¬ (y 𝐿 y 𝑈) y Q x Q (y <Q x → (y 𝐿 x 𝑈)))))
3 simpr1l 947 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q 𝑈Q) (y Q y 𝐿 x Q x 𝑈)) ((y Q (y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)) x Q (x 𝑈y Q (y <Q x y 𝑈))) y Q ¬ (y 𝐿 y 𝑈) y Q x Q (y <Q x → (y 𝐿 x 𝑈)))) → y Q (y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)))
42, 3sylbi 114 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈 Py Q (y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)))
5 eleq1 2078 . . . . . . . . 9 (y = B → (y 𝐿B 𝐿))
6 breq1 3737 . . . . . . . . . . 11 (y = B → (y <Q xB <Q x))
76anbi1d 441 . . . . . . . . . 10 (y = B → ((y <Q x x 𝐿) ↔ (B <Q x x 𝐿)))
87rexbidv 2301 . . . . . . . . 9 (y = B → (x Q (y <Q x x 𝐿) ↔ x Q (B <Q x x 𝐿)))
95, 8bibi12d 224 . . . . . . . 8 (y = B → ((y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)) ↔ (B 𝐿x Q (B <Q x x 𝐿))))
109rspcv 2625 . . . . . . 7 (B Q → (y Q (y 𝐿x Q (y <Q x x 𝐿)) → (B 𝐿x Q (B <Q x x 𝐿))))
11 bi1 111 . . . . . . 7 ((B 𝐿x Q (B <Q x x 𝐿)) → (B 𝐿x Q (B <Q x x 𝐿)))
124, 10, 11syl56 30 . . . . . 6 (B Q → (⟨𝐿, 𝑈 P → (B 𝐿x Q (B <Q x x 𝐿))))
1312impd 242 . . . . 5 (B Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x Q (B <Q x x 𝐿)))
141, 13mpcom 32 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x Q (B <Q x x 𝐿))
15 df-rex 2286 . . . 4 (x Q (B <Q x x 𝐿) ↔ x(x Q (B <Q x x 𝐿)))
1614, 15sylib 127 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x(x Q (B <Q x x 𝐿)))
17 ltrelnq 6218 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4315 . . . . . . . 8 (B <Q x → (B Q x Q))
1918simprd 107 . . . . . . 7 (B <Q xx Q)
2019pm4.71ri 372 . . . . . 6 (B <Q x ↔ (x Q B <Q x))
2120anbi1i 434 . . . . 5 ((B <Q x x 𝐿) ↔ ((x Q B <Q x) x 𝐿))
22 ancom 253 . . . . 5 ((B <Q x x 𝐿) ↔ (x 𝐿 B <Q x))
23 anass 383 . . . . 5 (((x Q B <Q x) x 𝐿) ↔ (x Q (B <Q x x 𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 199 . . . 4 ((x 𝐿 B <Q x) ↔ (x Q (B <Q x x 𝐿)))
2524exbii 1474 . . 3 (x(x 𝐿 B <Q x) ↔ x(x Q (B <Q x x 𝐿)))
2616, 25sylibr 137 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x(x 𝐿 B <Q x))
27 df-rex 2286 . 2 (x 𝐿 B <Q xx(x 𝐿 B <Q x))
2826, 27sylibr 137 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x 𝐿 B <Q x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-qs 6019  df-ni 6158  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  prnmaddl  6338  genprndl  6370  1idprl  6423  ltsopr  6427  ltexprlemm  6431  ltexprlemopl  6432  recexprlemloc  6459  recexprlem1ssl  6461  aptiprleml  6467
  Copyright terms: Public domain W3C validator