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Theorem recexprlem1ssu 6462
Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of A ·P B. Lemma for recexpr 6466. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssu (A P → (2nd ‘1P) ⊆ (2nd ‘(A ·P B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem recexprlem1ssu
Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pru 6400 . . . 4 (2nd ‘1P) = {w ∣ 1Q <Q w}
21abeq2i 2126 . . 3 (w (2nd ‘1P) ↔ 1Q <Q w)
3 prop 6323 . . . . . 6 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
4 prmuloc2 6405 . . . . . 6 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 1Q <Q w) → v (1stA)(v ·Q w) (2ndA))
53, 4sylan 267 . . . . 5 ((A P 1Q <Q w) → v (1stA)(v ·Q w) (2ndA))
6 prnminu 6337 . . . . . . . 8 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (v ·Q w) (2ndA)) → z (2ndA)z <Q (v ·Q w))
73, 6sylan 267 . . . . . . 7 ((A P (v ·Q w) (2ndA)) → z (2ndA)z <Q (v ·Q w))
87ad2ant2rl 468 . . . . . 6 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → z (2ndA)z <Q (v ·Q w))
9 simp3 892 . . . . . . . . . . 11 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → z <Q (v ·Q w))
10 simp2l 916 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → v (1stA))
11 elprnql 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (1stA)) → v Q)
123, 11sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A P v (1stA)) → v Q)
1312ad2ant2r 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → v Q)
14133adant3 910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → v Q)
15 simp1r 915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → 1Q <Q w)
16 ltrelnq 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 <Q ⊆ (Q × Q)
1716brel 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q <Q w → (1Q Q w Q))
1817simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1Q <Q ww Q)
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → w Q)
20 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w Q → (*Qw) Q)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (*Qw) Q)
22 mulassnqg 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((v Q w Q (*Qw) Q) → ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) = (v ·Q (w ·Q (*Qw))))
2314, 19, 21, 22syl3anc 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) = (v ·Q (w ·Q (*Qw))))
24 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w Q → (w ·Q (*Qw)) = 1Q)
2519, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (w ·Q (*Qw)) = 1Q)
2625oveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (v ·Q (w ·Q (*Qw))) = (v ·Q 1Q))
27 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (v Q → (v ·Q 1Q) = v)
2814, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (v ·Q 1Q) = v)
2923, 26, 283eqtrd 2054 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) = v)
3029eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (((v ·Q w) ·Q (*Qw)) (1stA) ↔ v (1stA)))
3110, 30mpbird 156 . . . . . . . . . . 11 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) (1stA))
32 ltrnqi 6272 . . . . . . . . . . . . 13 (z <Q (v ·Q w) → (*Q‘(v ·Q w)) <Q (*Qz))
33 ltmnqg 6254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
35 mulclnq 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((v Q w Q) → (v ·Q w) Q)
3614, 19, 35syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (v ·Q w) Q)
37 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((v ·Q w) Q → (*Q‘(v ·Q w)) Q)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (*Q‘(v ·Q w)) Q)
3916brel 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z <Q (v ·Q w) → (z Q (v ·Q w) Q))
4039simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z <Q (v ·Q w) → z Q)
419, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → z Q)
42 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z Q → (*Qz) Q)
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (*Qz) Q)
44 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((f Q g Q) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) (f Q g Q)) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
4634, 38, 43, 19, 45caovord2d 5589 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((*Q‘(v ·Q w)) <Q (*Qz) ↔ ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w)))
4732, 46syl5ib 143 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (z <Q (v ·Q w) → ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w)))
48 1nq 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1Q Q
49 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
51 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((v ·Q w) Q (*Q‘(v ·Q w)) Q) → ((v ·Q w) ·Q (*Q‘(v ·Q w))) = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)))
5237, 51mpdan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((v ·Q w) Q → ((v ·Q w) ·Q (*Q‘(v ·Q w))) = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)))
53 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((v ·Q w) Q → ((v ·Q w) ·Q (*Q‘(v ·Q w))) = 1Q)
5452, 53eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v ·Q w) Q → ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)) = 1Q)
5554, 24oveqan12d 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((v ·Q w) Q w Q) → (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
5636, 19, 55syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
57 mulassnqg 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((f Q g Q Q) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
5857adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) (f Q g Q Q)) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
59 mulclnq 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((f Q g Q) → (f ·Q g) Q)
6059adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) (f Q g Q)) → (f ·Q g) Q)
6138, 36, 19, 45, 58, 21, 60caov4d 5604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q (v ·Q w)) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) ·Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw))))
6256, 61eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (1Q ·Q 1Q) = (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) ·Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw))))
6350, 62syl5reqr 2065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) ·Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw))) = 1Q)
6460, 38, 19caovcld 5573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) Q)
6560, 36, 21caovcld 5573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) Q)
66 recmulnqg 6244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) Q) → ((*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) = ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) ↔ (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) ·Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw))) = 1Q))
6764, 65, 66syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) = ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) ↔ (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) ·Q ((v ·Q w) ·Q (*Qw))) = 1Q))
6863, 67mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) = ((v ·Q w) ·Q (*Qw)))
6968eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA) ↔ ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) (1stA)))
7069biimprd 147 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → (((v ·Q w) ·Q (*Qw)) (1stA) → (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA)))
71 breq1 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) → (y <Q ((*Qz) ·Q w) ↔ ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w)))
72 fveq2 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) → (*Qy) = (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)))
7372eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA)))
7471, 73anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = ((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) → ((y <Q ((*Qz) ·Q w) (*Qy) (1stA)) ↔ (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w) (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA))))
7574spcegv 2614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) Q → ((((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w) (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA)) → y(y <Q ((*Qz) ·Q w) (*Qy) (1stA))))
7664, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w) (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA)) → y(y <Q ((*Qz) ·Q w) (*Qy) (1stA))))
77 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
7877recexprlemelu 6451 . . . . . . . . . . . . 13 (((*Qz) ·Q w) (2ndB) ↔ y(y <Q ((*Qz) ·Q w) (*Qy) (1stA)))
7976, 78syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w) <Q ((*Qz) ·Q w) (*Q‘((*Q‘(v ·Q w)) ·Q w)) (1stA)) → ((*Qz) ·Q w) (2ndB)))
8047, 70, 79syl2and 279 . . . . . . . . . . 11 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((z <Q (v ·Q w) ((v ·Q w) ·Q (*Qw)) (1stA)) → ((*Qz) ·Q w) (2ndB)))
819, 31, 80mp2and 411 . . . . . . . . . 10 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → ((*Qz) ·Q w) (2ndB))
82 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = w)
83 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w Q 1Q Q) → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8448, 83mpan2 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8582, 84eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . 13 (w Qw = (1Q ·Q w))
8685adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → w = (1Q ·Q w))
87 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . 14 (z Q → (z ·Q (*Qz)) = 1Q)
8887oveq1d 5447 . . . . . . . . . . . . 13 (z Q → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
8988adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
90 mulassnqg 6237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Q (*Qz) Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9142, 90syl3an2 1153 . . . . . . . . . . . . 13 ((z Q z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
92913anidm12 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9386, 89, 923eqtr2d 2056 . . . . . . . . . . 11 ((z Q w Q) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9441, 19, 93syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
95 oveq2 5440 . . . . . . . . . . . 12 (x = ((*Qz) ·Q w) → (z ·Q x) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9695eqeq2d 2029 . . . . . . . . . . 11 (x = ((*Qz) ·Q w) → (w = (z ·Q x) ↔ w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))))
9796rspcev 2629 . . . . . . . . . 10 ((((*Qz) ·Q w) (2ndB) w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))) → x (2ndB)w = (z ·Q x))
9881, 94, 97syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA)) z <Q (v ·Q w)) → x (2ndB)w = (z ·Q x))
99983expia 1090 . . . . . . . 8 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → (z <Q (v ·Q w) → x (2ndB)w = (z ·Q x)))
10099reximdv 2394 . . . . . . 7 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → (z (2ndA)z <Q (v ·Q w) → z (2ndA)x (2ndB)w = (z ·Q x)))
10177recexprlempr 6460 . . . . . . . . 9 (A PB P)
102 df-imp 6317 . . . . . . . . . 10 ·P = (y P, w P ↦ ⟨{u Qf Q g Q (f (1sty) g (1stw) u = (f ·Q g))}, {u Qf Q g Q (f (2ndy) g (2ndw) u = (f ·Q g))}⟩)
103102, 59genpelvu 6361 . . . . . . . . 9 ((A P B P) → (w (2nd ‘(A ·P B)) ↔ z (2ndA)x (2ndB)w = (z ·Q x)))
104101, 103mpdan 400 . . . . . . . 8 (A P → (w (2nd ‘(A ·P B)) ↔ z (2ndA)x (2ndB)w = (z ·Q x)))
105104ad2antrr 460 . . . . . . 7 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → (w (2nd ‘(A ·P B)) ↔ z (2ndA)x (2ndB)w = (z ·Q x)))
106100, 105sylibrd 158 . . . . . 6 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → (z (2ndA)z <Q (v ·Q w) → w (2nd ‘(A ·P B))))
1078, 106mpd 13 . . . . 5 (((A P 1Q <Q w) (v (1stA) (v ·Q w) (2ndA))) → w (2nd ‘(A ·P B)))
1085, 107rexlimddv 2411 . . . 4 ((A P 1Q <Q w) → w (2nd ‘(A ·P B)))
109108ex 108 . . 3 (A P → (1Q <Q ww (2nd ‘(A ·P B))))
1102, 109syl5bi 141 . 2 (A P → (w (2nd ‘1P) → w (2nd ‘(A ·P B))))
111110ssrdv 2924 1 (A P → (2nd ‘1P) ⊆ (2nd ‘(A ·P B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  {cab 2004  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  cfv 4825  (class class class)co 5432  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137  *Qcrq 6138   <Q cltq 6139  Pcnp 6145  1Pc1p 6146   ·P cmp 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-imp 6317
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6465
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