ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulassnqg Structured version   GIF version

Theorem mulassnqg 6361
Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulassnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A ·Q B) ·Q 𝐶) = (A ·Q (B ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6325 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 mulpipqqs 6350 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6350 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q )
4 mulpipqqs 6350 . 2 ((((x ·N z) N (y ·N w) N) (v N u N)) → ([⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N z) ·N v), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5 mulpipqqs 6350 . 2 (((x N y N) ((z ·N v) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨(z ·N v), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N (z ·N v)), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6305 . . . 4 ((x N z N) → (x ·N z) N)
76ad2ant2r 478 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → (x ·N z) N)
8 mulclpi 6305 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
98ad2ant2l 477 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N w) N)
107, 9jca 290 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N z) N (y ·N w) N))
11 mulclpi 6305 . . . 4 ((z N v N) → (z ·N v) N)
1211ad2ant2r 478 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N v) N)
13 mulclpi 6305 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
1413ad2ant2l 477 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
1512, 14jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N v) N (w ·N u) N))
16 mulasspig 6309 . . . . 5 ((x N z N v N) → ((x ·N z) ·N v) = (x ·N (z ·N v)))
17163adant1r 1127 . . . 4 (((x N y N) z N v N) → ((x ·N z) ·N v) = (x ·N (z ·N v)))
18173adant2r 1129 . . 3 (((x N y N) (z N w N) v N) → ((x ·N z) ·N v) = (x ·N (z ·N v)))
19183adant3r 1131 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N z) ·N v) = (x ·N (z ·N v)))
20 mulasspig 6309 . . . . 5 ((y N w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
21203adant1l 1126 . . . 4 (((x N y N) w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
22213adant2l 1128 . . 3 (((x N y N) (z N w N) u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
23223adant3l 1130 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
241, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23ecoviass 6145 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A ·Q B) ·Q 𝐶) = (A ·Q (B ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5452  Ncnpi 6249   ·N cmi 6251   ~Q ceq 6256  Qcnq 6257   ·Q cmq 6260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-mi 6283  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-mqqs 6327
This theorem is referenced by:  recmulnqg  6368  halfnqq  6386  prarloclemarch  6394  ltrnqg  6396  addnqprl  6505  addnqpru  6506  appdivnq  6534  mulnqprl  6539  mulnqpru  6540  mullocprlem  6541  mulassprg  6547  1idprl  6556  1idpru  6557  recexprlem1ssl  6595  recexprlem1ssu  6596
  Copyright terms: Public domain W3C validator