ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recclnq Structured version   GIF version

Theorem recclnq 6251
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
recclnq (A Q → (*QA) Q)

Proof of Theorem recclnq
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recex 6249 . 2 (A Qy(y Q (A ·Q y) = 1Q))
2 recmulnqg 6250 . . . . . 6 ((A Q y Q) → ((*QA) = y ↔ (A ·Q y) = 1Q))
32biimpar 281 . . . . 5 (((A Q y Q) (A ·Q y) = 1Q) → (*QA) = y)
4 eleq1a 2091 . . . . . 6 (y Q → ((*QA) = y → (*QA) Q))
54ad2antlr 462 . . . . 5 (((A Q y Q) (A ·Q y) = 1Q) → ((*QA) = y → (*QA) Q))
63, 5mpd 13 . . . 4 (((A Q y Q) (A ·Q y) = 1Q) → (*QA) Q)
76expl 360 . . 3 (A Q → ((y Q (A ·Q y) = 1Q) → (*QA) Q))
87exlimdv 1682 . 2 (A Q → (y(y Q (A ·Q y) = 1Q) → (*QA) Q))
91, 8mpd 13 1 (A Q → (*QA) Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cfv 4829  (class class class)co 5436  Qcnq 6138  1Qc1q 6139   ·Q cmq 6141  *Qcrq 6142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-mpq 6204  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-mqqs 6209  df-1nqqs 6210  df-rq 6211
This theorem is referenced by:  recidnq  6252  recrecnq  6253  rec1nq  6254  halfnqq  6267  prarloclemarch  6275  ltrnqg  6277  addnqprllem  6382  addnqprulem  6383  addnqprl  6384  addnqpru  6385  appdivnq  6407  mulnqprl  6412  mulnqpru  6413  1idprl  6429  1idpru  6430  recexprlemm  6458  recexprlemloc  6465  recexprlem1ssl  6467  recexprlem1ssu  6468
  Copyright terms: Public domain W3C validator