ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recmulnqg Structured version   GIF version

Theorem recmulnqg 6375
Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
recmulnqg ((A Q B Q) → ((*QA) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulnqg
Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . 5 (x = A → (x ·Q y) = (A ·Q y))
21eqeq1d 2045 . . . 4 (x = A → ((x ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q y) = 1Q))
32anbi2d 437 . . 3 (x = A → ((y Q (x ·Q y) = 1Q) ↔ (y Q (A ·Q y) = 1Q)))
4 eleq1 2097 . . . 4 (y = B → (y QB Q))
5 oveq2 5463 . . . . 5 (y = B → (A ·Q y) = (A ·Q B))
65eqeq1d 2045 . . . 4 (y = B → ((A ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q B) = 1Q))
74, 6anbi12d 442 . . 3 (y = B → ((y Q (A ·Q y) = 1Q) ↔ (B Q (A ·Q B) = 1Q)))
8 recexnq 6374 . . . 4 (x Qy(y Q (x ·Q y) = 1Q))
9 1nq 6350 . . . . 5 1Q Q
10 mulcomnqg 6367 . . . . 5 ((z Q w Q) → (z ·Q w) = (w ·Q z))
11 mulassnqg 6368 . . . . 5 ((z Q w Q v Q) → ((z ·Q w) ·Q v) = (z ·Q (w ·Q v)))
12 mulidnq 6373 . . . . 5 (z Q → (z ·Q 1Q) = z)
139, 10, 11, 12caovimo 5636 . . . 4 (x Q∃*y(y Q (x ·Q y) = 1Q))
14 eu5 1944 . . . 4 (∃!y(y Q (x ·Q y) = 1Q) ↔ (y(y Q (x ·Q y) = 1Q) ∃*y(y Q (x ·Q y) = 1Q)))
158, 13, 14sylanbrc 394 . . 3 (x Q∃!y(y Q (x ·Q y) = 1Q))
16 df-rq 6336 . . . 4 *Q = {⟨x, y⟩ ∣ (x Q y Q (x ·Q y) = 1Q)}
17 3anass 888 . . . . 5 ((x Q y Q (x ·Q y) = 1Q) ↔ (x Q (y Q (x ·Q y) = 1Q)))
1817opabbii 3815 . . . 4 {⟨x, y⟩ ∣ (x Q y Q (x ·Q y) = 1Q)} = {⟨x, y⟩ ∣ (x Q (y Q (x ·Q y) = 1Q))}
1916, 18eqtri 2057 . . 3 *Q = {⟨x, y⟩ ∣ (x Q (y Q (x ·Q y) = 1Q))}
203, 7, 15, 19fvopab3g 5188 . 2 ((A Q B Q) → ((*QA) = B ↔ (B Q (A ·Q B) = 1Q)))
21 ibar 285 . . 3 (B Q → ((A ·Q B) = 1Q ↔ (B Q (A ·Q B) = 1Q)))
2221adantl 262 . 2 ((A Q B Q) → ((A ·Q B) = 1Q ↔ (B Q (A ·Q B) = 1Q)))
2320, 22bitr4d 180 1 ((A Q B Q) → ((*QA) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  {copab 3808  cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336
This theorem is referenced by:  recclnq  6376  recidnq  6377  recrecnq  6378  recexprlem1ssl  6603  recexprlem1ssu  6604
  Copyright terms: Public domain W3C validator