ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnminu Structured version   GIF version

Theorem prnminu 6471
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x 𝑈 x <Q B)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 6464 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → B Q)
2 elinp 6456 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (x Q x 𝐿 y Q y 𝑈)) ((x Q (x 𝐿y Q (x <Q y y 𝐿)) y Q (y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈))) x Q ¬ (x 𝐿 x 𝑈) x Q y Q (x <Q y → (x 𝐿 y 𝑈)))))
3 simpr1r 961 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q 𝑈Q) (x Q x 𝐿 y Q y 𝑈)) ((x Q (x 𝐿y Q (x <Q y y 𝐿)) y Q (y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈))) x Q ¬ (x 𝐿 x 𝑈) x Q y Q (x <Q y → (x 𝐿 y 𝑈)))) → y Q (y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈)))
42, 3sylbi 114 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈 Py Q (y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈)))
5 eleq1 2097 . . . . . . . . 9 (y = B → (y 𝑈B 𝑈))
6 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (y = B → (x <Q yx <Q B))
76anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (y = B → ((x <Q y x 𝑈) ↔ (x <Q B x 𝑈)))
87rexbidv 2321 . . . . . . . . 9 (y = B → (x Q (x <Q y x 𝑈) ↔ x Q (x <Q B x 𝑈)))
95, 8bibi12d 224 . . . . . . . 8 (y = B → ((y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈)) ↔ (B 𝑈x Q (x <Q B x 𝑈))))
109rspcv 2646 . . . . . . 7 (B Q → (y Q (y 𝑈x Q (x <Q y x 𝑈)) → (B 𝑈x Q (x <Q B x 𝑈))))
11 bi1 111 . . . . . . 7 ((B 𝑈x Q (x <Q B x 𝑈)) → (B 𝑈x Q (x <Q B x 𝑈)))
124, 10, 11syl56 30 . . . . . 6 (B Q → (⟨𝐿, 𝑈 P → (B 𝑈x Q (x <Q B x 𝑈))))
1312impd 242 . . . . 5 (B Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x Q (x <Q B x 𝑈)))
141, 13mpcom 32 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x Q (x <Q B x 𝑈))
15 df-rex 2306 . . . 4 (x Q (x <Q B x 𝑈) ↔ x(x Q (x <Q B x 𝑈)))
1614, 15sylib 127 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x(x Q (x <Q B x 𝑈)))
17 ltrelnq 6349 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4335 . . . . . . . 8 (x <Q B → (x Q B Q))
1918simpld 105 . . . . . . 7 (x <Q Bx Q)
2019pm4.71ri 372 . . . . . 6 (x <Q B ↔ (x Q x <Q B))
2120anbi1i 431 . . . . 5 ((x <Q B x 𝑈) ↔ ((x Q x <Q B) x 𝑈))
22 ancom 253 . . . . 5 ((x <Q B x 𝑈) ↔ (x 𝑈 x <Q B))
23 anass 381 . . . . 5 (((x Q x <Q B) x 𝑈) ↔ (x Q (x <Q B x 𝑈)))
2421, 22, 233bitr3i 199 . . . 4 ((x 𝑈 x <Q B) ↔ (x Q (x <Q B x 𝑈)))
2524exbii 1493 . . 3 (x(x 𝑈 x <Q B) ↔ x(x Q (x <Q B x 𝑈)))
2616, 25sylibr 137 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x(x 𝑈 x <Q B))
27 df-rex 2306 . 2 (x 𝑈 x <Q Bx(x 𝑈 x <Q B))
2826, 27sylibr 137 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝑈) → x 𝑈 x <Q B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  genprndu  6504  1idpru  6566  ltsopr  6569  ltexprlemopu  6576  ltexprlemru  6585  addcanprlemu  6588  recexprlemloc  6602  recexprlem1ssu  6605  aptiprlemu  6611
  Copyright terms: Public domain W3C validator