ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc2 Structured version   GIF version

Theorem prmuloc2 6405
Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 6404 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio B, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prmuloc2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuloc 6404 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)))
2 nfv 1398 . . 3 x(⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B)
3 nfre1 2339 . . 3 xx 𝐿 (x ·Q B) 𝑈
4 simpr1 896 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿)
5 simpr3 898 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))
6 simplrr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y Q)
7 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . 11 (y Q → (y ·Q 1Q) = y)
8 breq1 3737 . . . . . . . . . . 11 ((y ·Q 1Q) = y → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
105, 9mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y <Q (x ·Q B))
11 simplll 473 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
12 simpr2 897 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y 𝑈)
13 prcunqu 6333 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝐿, 𝑈 P y 𝑈) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1411, 12, 13syl2anc 393 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1510, 14mpd 13 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (x ·Q B) 𝑈)
16 rspe 2344 . . . . . . . 8 ((x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
174, 15, 16syl2anc 393 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
1817ex 108 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
1918anassrs 382 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) y Q) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2019rexlimdva 2407 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2120ex 108 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)))
222, 3, 21rexlimd 2404 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
231, 22mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  wrex 2281  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6461  recexprlem1ssu  6462
  Copyright terms: Public domain W3C validator