Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc2 Structured version   GIF version

Theorem prmuloc2 6405
 Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 6404 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio B, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prmuloc2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuloc 6404 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)))
2 nfv 1398 . . 3 x(⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B)
3 nfre1 2339 . . 3 xx 𝐿 (x ·Q B) 𝑈
4 simpr1 896 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿)
5 simpr3 898 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))
6 simplrr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y Q)
7 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . 11 (y Q → (y ·Q 1Q) = y)
8 breq1 3737 . . . . . . . . . . 11 ((y ·Q 1Q) = y → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
105, 9mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y <Q (x ·Q B))
11 simplll 473 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
12 simpr2 897 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y 𝑈)
13 prcunqu 6333 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝐿, 𝑈 P y 𝑈) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1411, 12, 13syl2anc 393 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1510, 14mpd 13 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (x ·Q B) 𝑈)
16 rspe 2344 . . . . . . . 8 ((x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
174, 15, 16syl2anc 393 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
1817ex 108 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
1918anassrs 382 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) y Q) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2019rexlimdva 2407 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2120ex 108 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)))
222, 3, 21rexlimd 2404 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
231, 22mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 871   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  ∃wrex 2281  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137
 Copyright terms: Public domain W3C validator