ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloc2 Structured version   GIF version

Theorem prmuloc2 6546
Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 6545 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio B, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prmuloc2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuloc 6545 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)))
2 nfv 1418 . . 3 x(⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B)
3 nfre1 2359 . . 3 xx 𝐿 (x ·Q B) 𝑈
4 simpr1 909 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿)
5 simpr3 911 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))
6 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y Q)
7 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . 11 (y Q → (y ·Q 1Q) = y)
8 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 ((y ·Q 1Q) = y → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
105, 9mpbid 135 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y <Q (x ·Q B))
11 simplll 485 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
12 simpr2 910 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y 𝑈)
13 prcunqu 6467 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝐿, 𝑈 P y 𝑈) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1411, 12, 13syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) 𝑈))
1510, 14mpd 13 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (x ·Q B) 𝑈)
16 rspe 2364 . . . . . . . 8 ((x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
174, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
1817ex 108 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) (x Q y Q)) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
1918anassrs 380 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) y Q) → ((x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2019rexlimdva 2427 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) x Q) → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
2120ex 108 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q → (y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)))
222, 3, 21rexlimd 2424 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → (x Q y Q (x 𝐿 y 𝑈 (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈))
231, 22mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 1Q <Q B) → x 𝐿 (x ·Q B) 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6603  recexprlem1ssu  6604
  Copyright terms: Public domain W3C validator