Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulidnq Structured version   GIF version

Theorem mulidnq 6373
 Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq (A Q → (A ·Q 1Q) = A)

Proof of Theorem mulidnq
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5462 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q 1Q) = (A ·Q 1Q))
3 id 19 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → [⟨x, y⟩] ~Q = A)
42, 3eqeq12d 2051 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨x, y⟩] ~Q ↔ (A ·Q 1Q) = A))
5 df-1nqqs 6335 . . . . 5 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
65oveq2i 5466 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q 1Q) = ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
7 1pi 6299 . . . . 5 1𝑜 N
8 mulpipqqs 6357 . . . . 5 (((x N y N) (1𝑜 N 1𝑜 N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N 1𝑜), (y ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
97, 7, 8mpanr12 415 . . . 4 ((x N y N) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N 1𝑜), (y ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
106, 9syl5eq 2081 . . 3 ((x N y N) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨(x ·N 1𝑜), (y ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
11 mulcompig 6315 . . . . . . 7 ((1𝑜 N x N) → (1𝑜 ·N x) = (x ·N 1𝑜))
127, 11mpan 400 . . . . . 6 (x N → (1𝑜 ·N x) = (x ·N 1𝑜))
1312adantr 261 . . . . 5 ((x N y N) → (1𝑜 ·N x) = (x ·N 1𝑜))
14 mulcompig 6315 . . . . . . 7 ((1𝑜 N y N) → (1𝑜 ·N y) = (y ·N 1𝑜))
157, 14mpan 400 . . . . . 6 (y N → (1𝑜 ·N y) = (y ·N 1𝑜))
1615adantl 262 . . . . 5 ((x N y N) → (1𝑜 ·N y) = (y ·N 1𝑜))
1713, 16opeq12d 3548 . . . 4 ((x N y N) → ⟨(1𝑜 ·N x), (1𝑜 ·N y)⟩ = ⟨(x ·N 1𝑜), (y ·N 1𝑜)⟩)
1817eceq1d 6078 . . 3 ((x N y N) → [⟨(1𝑜 ·N x), (1𝑜 ·N y)⟩] ~Q = [⟨(x ·N 1𝑜), (y ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
19 mulcanenqec 6370 . . . 4 ((1𝑜 N x N y N) → [⟨(1𝑜 ·N x), (1𝑜 ·N y)⟩] ~Q = [⟨x, y⟩] ~Q )
207, 19mp3an1 1218 . . 3 ((x N y N) → [⟨(1𝑜 ·N x), (1𝑜 ·N y)⟩] ~Q = [⟨x, y⟩] ~Q )
2110, 18, 203eqtr2d 2075 . 2 ((x N y N) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨x, y⟩] ~Q )
221, 4, 21ecoptocl 6129 1 (A Q → (A ·Q 1Q) = A)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335 This theorem is referenced by:  recmulnqg  6375  rec1nq  6379  ltaddnq  6390  halfnqq  6393  prarloclemarch  6401  ltrnqg  6403  addnqprllem  6509  addnqprulem  6510  addnqprl  6511  addnqpru  6512  appdivnq  6543  prmuloc2  6547  mulnqprl  6548  mulnqpru  6549  1idprl  6565  1idpru  6566  recexprlem1ssl  6604  recexprlem1ssu  6605
 Copyright terms: Public domain W3C validator