ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq Structured version   GIF version

Theorem ltaddnq 6390
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6389 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6350 . . . . . . . 8 1Q Q
3 addclnq 6359 . . . . . . . . 9 ((1Q Q 1Q Q) → (1Q +Q 1Q) Q)
42, 2, 3mp2an 402 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) Q
5 ltmnqg 6385 . . . . . . . 8 ((1Q Q (1Q +Q 1Q) Q B Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1221 . . . . . . 7 (B Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 136 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6373 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) = B)
9 distrnqg 6371 . . . . . . . 8 ((B Q 1Q Q 1Q Q) → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1223 . . . . . . 7 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5473 . . . . . . 7 (B Q → ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)) = (B +Q B))
1210, 11eqtrd 2069 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
137, 8, 123brtr3d 3784 . . . . 5 (B QB <Q (B +Q B))
1413adantl 262 . . . 4 ((A Q B Q) → B <Q (B +Q B))
15 simpr 103 . . . . 5 ((A Q B Q) → B Q)
16 addclnq 6359 . . . . . . 7 ((B Q B Q) → (B +Q B) Q)
1716anidms 377 . . . . . 6 (B Q → (B +Q B) Q)
1817adantl 262 . . . . 5 ((A Q B Q) → (B +Q B) Q)
19 simpl 102 . . . . 5 ((A Q B Q) → A Q)
20 ltanqg 6384 . . . . 5 ((B Q (B +Q B) Q A Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1134 . . . 4 ((A Q B Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2214, 21mpbid 135 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23 addcomnqg 6365 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) = (B +Q A))
24 addcomnqg 6365 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6366 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5624 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q (B +Q B)) = (B +Q (A +Q B)))
2922, 23, 283brtr3d 3784 . 2 ((A Q B Q) → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
30 addclnq 6359 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) Q)
31 ltanqg 6384 . . 3 ((A Q (A +Q B) Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1134 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3329, 32mpbird 156 1 ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6391  nsmallnqq  6395  subhalfnqq  6397  ltbtwnnqq  6398  prarloclemarch2  6402  ltexprlemm  6572  ltexprlemopl  6573  addcanprleml  6586  addcanprlemu  6587  recexprlemm  6594
  Copyright terms: Public domain W3C validator