ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq Structured version   GIF version

Theorem ltaddnq 6383
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6382 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6343 . . . . . . . 8 1Q Q
3 addclnq 6352 . . . . . . . . 9 ((1Q Q 1Q Q) → (1Q +Q 1Q) Q)
42, 2, 3mp2an 402 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) Q
5 ltmnqg 6378 . . . . . . . 8 ((1Q Q (1Q +Q 1Q) Q B Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1221 . . . . . . 7 (B Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 136 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6366 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) = B)
9 distrnqg 6364 . . . . . . . 8 ((B Q 1Q Q 1Q Q) → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1223 . . . . . . 7 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5470 . . . . . . 7 (B Q → ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)) = (B +Q B))
1210, 11eqtrd 2069 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
137, 8, 123brtr3d 3783 . . . . 5 (B QB <Q (B +Q B))
1413adantl 262 . . . 4 ((A Q B Q) → B <Q (B +Q B))
15 simpr 103 . . . . 5 ((A Q B Q) → B Q)
16 addclnq 6352 . . . . . . 7 ((B Q B Q) → (B +Q B) Q)
1716anidms 377 . . . . . 6 (B Q → (B +Q B) Q)
1817adantl 262 . . . . 5 ((A Q B Q) → (B +Q B) Q)
19 simpl 102 . . . . 5 ((A Q B Q) → A Q)
20 ltanqg 6377 . . . . 5 ((B Q (B +Q B) Q A Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1134 . . . 4 ((A Q B Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2214, 21mpbid 135 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23 addcomnqg 6358 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) = (B +Q A))
24 addcomnqg 6358 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6359 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5621 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q (B +Q B)) = (B +Q (A +Q B)))
2922, 23, 283brtr3d 3783 . 2 ((A Q B Q) → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
30 addclnq 6352 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) Q)
31 ltanqg 6377 . . 3 ((A Q (A +Q B) Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1134 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3329, 32mpbird 156 1 ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  Qcnq 6257  1Qc1q 6258   +Q cplq 6259   ·Q cmq 6260   <Q cltq 6262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-ltnqqs 6330
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6384  nsmallnqq  6388  subhalfnqq  6390  ltbtwnnqq  6391  prarloclemarch2  6395  ltexprlemm  6564  ltexprlemopl  6565  addcanprleml  6578  addcanprlemu  6579  recexprlemm  6586
  Copyright terms: Public domain W3C validator