ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 6390
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6389 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6350 . . . . . . . 8 1Q Q
3 addclnq 6359 . . . . . . . . 9 ((1Q Q 1Q Q) → (1Q +Q 1Q) Q)
42, 2, 3mp2an 402 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) Q
5 ltmnqg 6385 . . . . . . . 8 ((1Q Q (1Q +Q 1Q) Q B Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1221 . . . . . . 7 (B Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 136 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6373 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q 1Q) = B)
9 distrnqg 6371 . . . . . . . 8 ((B Q 1Q Q 1Q Q) → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1223 . . . . . . 7 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5473 . . . . . . 7 (B Q → ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)) = (B +Q B))
1210, 11eqtrd 2069 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
137, 8, 123brtr3d 3784 . . . . 5 (B QB <Q (B +Q B))
1413adantl 262 . . . 4 ((A Q B Q) → B <Q (B +Q B))
15 simpr 103 . . . . 5 ((A Q B Q) → B Q)
16 addclnq 6359 . . . . . . 7 ((B Q B Q) → (B +Q B) Q)
1716anidms 377 . . . . . 6 (B Q → (B +Q B) Q)
1817adantl 262 . . . . 5 ((A Q B Q) → (B +Q B) Q)
19 simpl 102 . . . . 5 ((A Q B Q) → A Q)
20 ltanqg 6384 . . . . 5 ((B Q (B +Q B) Q A Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1134 . . . 4 ((A Q B Q) → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
2214, 21mpbid 135 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23 addcomnqg 6365 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) = (B +Q A))
24 addcomnqg 6365 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6366 . . . . 5 ((𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 262 . . . 4 (((A Q B Q) (𝑟 Q 𝑠 Q 𝑡 Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5624 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q (B +Q B)) = (B +Q (A +Q B)))
2922, 23, 283brtr3d 3784 . 2 ((A Q B Q) → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
30 addclnq 6359 . . 3 ((A Q B Q) → (A +Q B) Q)
31 ltanqg 6384 . . 3 ((A Q (A +Q B) Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1134 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
3329, 32mpbird 156 1 ((A Q B Q) → A <Q (A +Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6391  nsmallnqq  6395  subhalfnqq  6397  ltbtwnnqq  6398  prarloclemarch2  6402  ltexprlemm  6574  ltexprlemopl  6575  addcanprleml  6588  addcanprlemu  6589  recexprlemm  6596  cauappcvgprlemm  6617  cauappcvgprlemopl  6618  cauappcvgprlem2  6632  caucvgprlemnkj  6637  caucvgprlemnbj  6638  caucvgprlemm  6639  caucvgprlemopl  6640
  Copyright terms: Public domain W3C validator