ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rec1nq Structured version   GIF version

Theorem rec1nq 6248
Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
rec1nq (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq
StepHypRef Expression
1 1nq 6219 . . . 4 1Q Q
2 recclnq 6245 . . . 4 (1Q Q → (*Q‘1Q) Q)
31, 2ax-mp 7 . . 3 (*Q‘1Q) Q
4 mulcomnqg 6236 . . 3 (((*Q‘1Q) Q 1Q Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
53, 1, 4mp2an 404 . 2 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6 mulidnq 6242 . . 3 ((*Q‘1Q) Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
71, 2, 6mp2b 8 . 2 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8 recidnq 6246 . . 3 (1Q Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
91, 8ax-mp 7 . 2 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
105, 7, 93eqtr3i 2046 1 (*Q‘1Q) = 1Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1226   wcel 1370  cfv 4825  (class class class)co 5432  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137  *Qcrq 6138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6461
  Copyright terms: Public domain W3C validator