ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rec1nq GIF version

Theorem rec1nq 6493
Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
rec1nq (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq
StepHypRef Expression
1 1nq 6464 . . . 4 1QQ
2 recclnq 6490 . . . 4 (1QQ → (*Q‘1Q) ∈ Q)
31, 2ax-mp 7 . . 3 (*Q‘1Q) ∈ Q
4 mulcomnqg 6481 . . 3 (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
53, 1, 4mp2an 402 . 2 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6 mulidnq 6487 . . 3 ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
71, 2, 6mp2b 8 . 2 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8 recidnq 6491 . . 3 (1QQ → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
91, 8ax-mp 7 . 2 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
105, 7, 93eqtr3i 2068 1 (*Q‘1Q) = 1Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1243  wcel 1393  cfv 4902  (class class class)co 5512  Qcnq 6378  1Qc1q 6379   ·Q cmq 6381  *Qcrq 6382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450
This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6731  caucvgprlemm  6766  caucvgprprlemmu  6793  caucvgsr  6886
  Copyright terms: Public domain W3C validator