ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenqec GIF version

Theorem mulcanenqec 6482
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenqec ((𝐴N𝐵N𝐶N) → [⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩] ~Q = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q )

Proof of Theorem mulcanenqec
StepHypRef Expression
1 enqer 6454 . . 3 ~Q Er (N × N)
21a1i 9 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ~Q Er (N × N))
3 mulcanenq 6481 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩)
42, 3erthi 6152 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → [⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩] ~Q = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   × cxp 4343  (class class class)co 5512   Er wer 6103  [cec 6104  Ncnpi 6368   ·N cmi 6370   ~Q ceq 6375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6400  df-mi 6402  df-enq 6443
This theorem is referenced by:  distrnqg  6483  1qec  6484  mulidnq  6485  ltexnqq  6504
  Copyright terms: Public domain W3C validator