Theorem ecoptocl 6193

Description: Implicit substitution of class for equivalence class of ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐵 × 𝐶) / 𝑅)
ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ecoptocl.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
ecoptocl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ecoptocl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐵 × 𝐶) / 𝑅) → ∃𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐶)𝐴 = [𝑧]𝑅)
2		eqid 2040	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐶) = (𝐵 × 𝐶)
3		eceq1 6141	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑧 → [⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = [𝑧]𝑅)
4	3	eqeq2d 2051	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑧 → (𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 ↔ 𝐴 = [𝑧]𝑅))
5	4	imbi1d 220	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑧 → ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 → 𝜓) ↔ (𝐴 = [𝑧]𝑅 → 𝜓)))
6		ecoptocl.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝜑)
7		ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	eqcoms 2043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	6, 8	syl5ibcom 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 → 𝜓))
10	2, 5, 9	optocl 4416	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (𝐴 = [𝑧]𝑅 → 𝜓))
11	10	rexlimiv 2427	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐶)𝐴 = [𝑧]𝑅 → 𝜓)
12	1, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐵 × 𝐶) / 𝑅) → 𝜓)
13		ecoptocl.1	. 2 ⊢ 𝑆 = ((𝐵 × 𝐶) / 𝑅)
14	12, 13	eleq2s 2132	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   × cxp 4343  [cec 6104   / cqs 6105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-ec 6108  df-qs 6112

This theorem is referenced by:  2ecoptocl  6194  3ecoptocl  6195  mulidnq  6487  recexnq  6488  ltsonq  6496  distrnq0  6557  addassnq0  6560  ltposr  6848  0idsr  6852  1idsr  6853  00sr  6854  recexgt0sr  6858  archsr  6866  srpospr  6867