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Theorem addnqprllem 6510
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2 ltrnqi 6404 . . . . . 6 (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q𝑆) <Q (*Q𝑋))
3 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
43brel 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 Q 𝑆 Q))
54adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 Q 𝑆 Q))
65simprd 107 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 Q)
7 recclnq 6376 . . . . . . . . 9 (𝑆 Q → (*Q𝑆) Q)
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑆) Q)
9 simplr 482 . . . . . . . . 9 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 Q)
10 recclnq 6376 . . . . . . . . 9 (𝑋 Q → (*Q𝑋) Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q𝑋) Q)
12 ltmnqg 6385 . . . . . . . 8 (((*Q𝑆) Q (*Q𝑋) Q 𝑋 Q) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
138, 11, 9, 12syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋))))
14 ltmnqg 6385 . . . . . . . . 9 ((y Q z Q w Q) → (y <Q z ↔ (w ·Q y) <Q (w ·Q z)))
1514adantl 262 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) (y Q z Q w Q)) → (y <Q z ↔ (w ·Q y) <Q (w ·Q z)))
16 mulclnq 6360 . . . . . . . . 9 ((𝑋 Q (*Q𝑆) Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) Q)
179, 8, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑆)) Q)
18 mulclnq 6360 . . . . . . . . 9 ((𝑋 Q (*Q𝑋) Q) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) Q)
199, 11, 18syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) Q)
20 elprnql 6464 . . . . . . . . 9 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) → 𝐺 Q)
2120ad2antrr 457 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 Q)
22 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . 9 ((y Q z Q) → (y ·Q z) = (z ·Q y))
2322adantl 262 . . . . . . . 8 (((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) (y Q z Q)) → (y ·Q z) = (z ·Q y))
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5612 . . . . . . 7 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
2513, 24bitrd 177 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q𝑆) <Q (*Q𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
262, 25syl5ib 143 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺)))
271, 26mpd 13 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺))
28 recidnq 6377 . . . . . . . 8 (𝑋 Q → (𝑋 ·Q (*Q𝑋)) = 1Q)
2928oveq1d 5470 . . . . . . 7 (𝑋 Q → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30 1nq 6350 . . . . . . . . 9 1Q Q
31 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . 9 ((1Q Q 𝐺 Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
3230, 31mpan 400 . . . . . . . 8 (𝐺 Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33 mulidnq 6373 . . . . . . . 8 (𝐺 Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
3432, 33eqtrd 2069 . . . . . . 7 (𝐺 Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
3529, 34sylan9eqr 2091 . . . . . 6 ((𝐺 Q 𝑋 Q) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
3635breq2d 3767 . . . . 5 ((𝐺 Q 𝑋 Q) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3721, 9, 36syl2anc 391 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
3827, 37mpbid 135 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39 prcdnql 6467 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) 𝐿))
4039ad2antrr 457 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) 𝐿))
4138, 40mpd 13 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) 𝐿)
4241ex 108 1 (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐺 𝐿) 𝑋 Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q𝑆)) ·Q 𝐺) 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  addnqprl  6512
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