Theorem addnqprllem 6625

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprllem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem addnqprllem

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 <Q 𝑆)
2		ltrnqi 6519	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋))
3		ltrelnq 6463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	3	brel 4392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 <Q 𝑆 → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
5	4	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q))
6	5	simprd 107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑆 ∈ Q)
7		recclnq 6490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
9		simplr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝑋 ∈ Q)
10		recclnq 6490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
12		ltmnqg 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
13	8, 11, 9, 12	syl3anc 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋))))
14		ltmnqg 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 6474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
17	9, 8, 16	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
18		mulclnq 6474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
19	9, 11, 18	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
20		elprnql 6579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 6481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 5670	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 177	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((*Q‘𝑆) <Q (*Q‘𝑋) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	syl5ib 143	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 6491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 6464	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 6481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 6487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq2d 3776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
37	21, 9, 36	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺))
38	27, 37	mpbid 135	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺)
39		prcdnql 6582	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
40	39	ad2antrr 457	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) <Q 𝐺 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑋 <Q 𝑆) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿)
42	41	ex 108	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝐿) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 <Q 𝑆 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  Qcnq 6378  1_Qc1q 6379   ·_Q cmq 6381  *_Qcrq 6382   <_Q cltq 6383  Pcnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  addnqprl  6627