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Theorem addnqprllem 6625
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  <Q  S )
2 ltrnqi 6519 . . . . . 6  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
) )
3 ltrelnq 6463 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
43brel 4392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( X  e.  Q.  /\  S  e.  Q. ) )
54adantl 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  e. 
Q.  /\  S  e.  Q. ) )
65simprd 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  S  e.  Q. )
7 recclnq 6490 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Q.  ->  ( *Q `  S )  e. 
Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  S )  e.  Q. )
9 simplr 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  e.  Q. )
10 recclnq 6490 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( *Q `  X )  e. 
Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  X )  e.  Q. )
12 ltmnqg 6499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  S
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  (
( *Q `  S
)  <Q  ( *Q `  X )  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S
) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X
) ) ) )
14 ltmnqg 6499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
1514adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )  -> 
( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y ) 
<Q  ( w  .Q  z
) ) )
16 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
179, 8, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
18 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
199, 11, 18syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
20 elprnql 6579 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  G  e.  Q. )
2120ad2antrr 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  G  e.  Q. )
22 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
2322adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
2513, 24bitrd 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
262, 25syl5ib 143 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  <Q  S  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) )
28 recidnq 6491 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  =  1Q )
2928oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Q.  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  ( 1Q  .Q  G
) )
30 1nq 6464 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
31 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  G  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  G
)  =  ( G  .Q  1Q ) )
3230, 31mpan 400 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  ( G  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 6487 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( G  .Q  1Q )  =  G )
3432, 33eqtrd 2072 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  G )
3529, 34sylan9eqr 2094 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  G )
3635breq2d 3776 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G ) )
3721, 9, 36syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q 
( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G ) )
3827, 37mpbid 135 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G )
39 prcdnql 6582 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  (
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
4039ad2antrr 457 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
) )
4138, 40mpd 13 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
)
4241ex 108 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   Q.cnq 6378   1Qc1q 6379    .Q cmq 6381   *Qcrq 6382    <Q cltq 6383   P.cnp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564
This theorem is referenced by:  addnqprl  6627
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