ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql Structured version   GIF version

Theorem prcdnql 6332
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6218 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4315 . . . . 5 (𝐶 <Q B → (𝐶 Q B Q))
32simpld 105 . . . 4 (𝐶 <Q B𝐶 Q)
43adantl 262 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 Q)
5 breq1 3737 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q B𝐶 <Q B))
6 eleq1 2078 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 𝐿𝐶 𝐿))
75, 6imbi12d 223 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q B𝑐 𝐿) ↔ (𝐶 <Q B𝐶 𝐿)))
87imbi2d 219 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))))
91brel 4315 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q B → (𝑐 Q B Q))
109ancomd 254 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q B → (B Q 𝑐 Q))
11 an42 508 . . . . . . . . 9 (((B Q 𝑐 Q) (B 𝐿 𝐿, 𝑈 P)) ↔ ((B Q B 𝐿) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q)))
12 breq2 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = B → (𝑐 <Q 𝑏𝑐 <Q B))
13 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = B → (𝑏 𝐿B 𝐿))
1412, 13anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = B → ((𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿) ↔ (𝑐 <Q B B 𝐿)))
1514rspcev 2629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B Q (𝑐 <Q B B 𝐿)) → 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿))
16 elinp 6322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))))
17 simpr1l 947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))) → 𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
1816, 17sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
1918r19.21bi 2381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
2015, 19syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((B Q (𝑐 <Q B B 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
21203impb 1084 . . . . . . . . . . . 12 ((B Q 𝑐 <Q B B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
22213com12 1092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 <Q B B Q B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
23223expib 1091 . . . . . . . . . 10 (𝑐 <Q B → ((B Q B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿)))
2423impd 242 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q B → (((B Q B 𝐿) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q)) → 𝑐 𝐿))
2511, 24syl5bi 141 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q B → (((B Q 𝑐 Q) (B 𝐿 𝐿, 𝑈 P)) → 𝑐 𝐿))
2610, 25mpand 407 . . . . . . 7 (𝑐 <Q B → ((B 𝐿 𝐿, 𝑈 P) → 𝑐 𝐿))
2726com12 27 . . . . . 6 ((B 𝐿 𝐿, 𝑈 P) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿))
2827ancoms 255 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿))
298, 28vtoclg 2586 . . . 4 (𝐶 Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿)))
3029impd 242 . . 3 (𝐶 Q → (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 𝐿))
314, 30mpcom 32 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 𝐿)
3231ex 108 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-qs 6019  df-ni 6158  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  prubl  6334  addnqprllem  6376  mulnqprl  6406  distrlem4prl  6417  ltprordil  6422  1idprl  6423  ltpopr  6426  ltaddpr  6428  ltexprlemlol  6433  ltexprlemfl  6440  ltexprlemrl  6441  aptiprleml  6467  aptiprlemu  6468
  Copyright terms: Public domain W3C validator