ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql Structured version   GIF version

Theorem prcdnql 6466
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6349 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4335 . . . . 5 (𝐶 <Q B → (𝐶 Q B Q))
32simpld 105 . . . 4 (𝐶 <Q B𝐶 Q)
43adantl 262 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 Q)
5 breq1 3758 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q B𝐶 <Q B))
6 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 𝐿𝐶 𝐿))
75, 6imbi12d 223 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q B𝑐 𝐿) ↔ (𝐶 <Q B𝐶 𝐿)))
87imbi2d 219 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))))
91brel 4335 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q B → (𝑐 Q B Q))
109ancomd 254 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q B → (B Q 𝑐 Q))
11 an42 521 . . . . . . . . 9 (((B Q 𝑐 Q) (B 𝐿 𝐿, 𝑈 P)) ↔ ((B Q B 𝐿) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q)))
12 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = B → (𝑐 <Q 𝑏𝑐 <Q B))
13 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = B → (𝑏 𝐿B 𝐿))
1412, 13anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = B → ((𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿) ↔ (𝑐 <Q B B 𝐿)))
1514rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B Q (𝑐 <Q B B 𝐿)) → 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿))
16 elinp 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))))
17 simpr1l 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))) → 𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
1816, 17sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
1918r19.21bi 2401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)))
2015, 19syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((B Q (𝑐 <Q B B 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
21203impb 1099 . . . . . . . . . . . 12 ((B Q 𝑐 <Q B B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
22213com12 1107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 <Q B B Q B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿))
23223expib 1106 . . . . . . . . . 10 (𝑐 <Q B → ((B Q B 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q) → 𝑐 𝐿)))
2423impd 242 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q B → (((B Q B 𝐿) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑐 Q)) → 𝑐 𝐿))
2511, 24syl5bi 141 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q B → (((B Q 𝑐 Q) (B 𝐿 𝐿, 𝑈 P)) → 𝑐 𝐿))
2610, 25mpand 405 . . . . . . 7 (𝑐 <Q B → ((B 𝐿 𝐿, 𝑈 P) → 𝑐 𝐿))
2726com12 27 . . . . . 6 ((B 𝐿 𝐿, 𝑈 P) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿))
2827ancoms 255 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝑐 <Q B𝑐 𝐿))
298, 28vtoclg 2607 . . . 4 (𝐶 Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿)))
3029impd 242 . . 3 (𝐶 Q → (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 𝐿))
314, 30mpcom 32 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 <Q B) → 𝐶 𝐿)
3231ex 108 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → (𝐶 <Q B𝐶 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  prubl  6468  addnqprllem  6510  mulnqprl  6547  distrlem4prl  6558  ltprordil  6563  1idprl  6564  ltpopr  6567  ltaddpr  6569  ltexprlemlol  6574  ltexprlemfl  6581  ltexprlemrl  6582  aptiprleml  6609  aptiprlemu  6610
  Copyright terms: Public domain W3C validator