Theorem 1qec 6486

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 6449	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
2		1pi 6413	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3		mulcanenqec 6484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
5		mulidpi 6416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
6	5, 5	jca 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴))
7		opeq12 3551	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8		eceq1 6141	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1𝑜), (𝐴 ·N 1𝑜)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2074	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
11	1, 10	syl5eq 2084	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  [cec 6104  Ncnpi 6370   ·_N cmi 6372   ~_Q ceq 6377  1_Qc1q 6379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445  df-1nqqs 6449

This theorem is referenced by:  recexnq  6488