ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg GIF version

Theorem distrnqg 6485
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6446 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6468 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6471 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4 mulclpi 6426 . . . . . . 7 ((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5 simpl 102 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦N)
6 mulclpi 6426 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
75, 6jca 290 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
84, 7anim12i 321 . . . . . 6 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9 an12 495 . . . . . . 7 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10 3anass 889 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
119, 10bitr4i 176 . . . . . 6 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
128, 11sylib 127 . . . . 5 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
1312an4s 522 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14 mulcanenqec 6484 . . . 4 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2075 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 6471 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 6471 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6468 . 2 ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22 addclpi 6425 . . . . 5 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2320, 21, 22syl2an 273 . . . 4 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2423an42s 523 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2625ad2ant2l 477 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2724, 26jca 290 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3028, 29anim12i 321 . . 3 (((𝑥N𝑧N) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
3130an4s 522 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑥N𝑣N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
3432, 33anim12i 321 . . 3 (((𝑥N𝑣N) ∧ (𝑦N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
3534an4s 522 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36 an42 521 . . . . 5 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
3736anbi2i 430 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
38 3anass 889 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))))
39 3anass 889 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
4037, 38, 393bitr4i 201 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
41 mulclpi 6426 . . . . . 6 ((𝑦N𝑥N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
4241ancoms 255 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43 distrpig 6431 . . . . 5 (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1177 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45 simp1r 929 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
46 simp1l 928 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
47203ad2ant2 926 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48213ad2ant3 927 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
4947, 48, 22syl2anc 391 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50 mulasspig 6430 . . . . 5 ((𝑦N𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1135 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52 mulcompig 6429 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5352oveq1d 5527 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
5453adantr 261 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55 simpll 481 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑥N)
56 simplr 482 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑦N)
57 simprl 483 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑧N)
58 mulcompig 6429 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
5958adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60 mulasspig 6430 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6160adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
62 simprr 484 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑢N)
63 mulclpi 6426 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6463adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5685 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
6654, 65eqtr3d 2074 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67663adant3 924 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68 simplr 482 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
69 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
70 simprl 483 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
7158adantl 262 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
7260adantl 262 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
73 simprr 484 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑣N)
7463adantl 262 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5685 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76753adant2 923 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
7767, 76oveq12d 5530 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7844, 51, 773eqtr3d 2080 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7940, 78sylbir 125 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80703adant2 923 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
81623adant3 924 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑢N)
8280, 81, 25syl2anc 391 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83 mulasspig 6430 . . . . 5 ((𝑦N𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1135 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8558adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
8660adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
8763adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5685 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
8984, 88eqtr3d 2074 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
9040, 89sylbir 125 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6218 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378  (class class class)co 5512  [cec 6104  Ncnpi 6370   +N cpli 6371   ·N cmi 6372   ~Q ceq 6377  Qcnq 6378   +Q cplq 6380   ·Q cmq 6381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6505  halfnqq  6508  addnqprl  6627  addnqpru  6628  prmuloclemcalc  6663  distrlem1prl  6680  distrlem1pru  6681  distrlem4prl  6682  distrlem4pru  6683
  Copyright terms: Public domain W3C validator