ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Structured version   GIF version

Theorem distrnqg 6371
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A ·Q (B +Q 𝐶)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables u v w x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6354 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6357 . . 3 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
4 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) → (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N)
5 simpl 102 . . . . . . . 8 ((y N (w ·N u) N) → y N)
6 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((y N (w ·N u) N) → (y ·N (w ·N u)) N)
75, 6jca 290 . . . . . . 7 ((y N (w ·N u) N) → (y N (y ·N (w ·N u)) N))
84, 7anim12i 321 . . . . . 6 (((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) (y N (w ·N u) N)) → ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)))
9 an12 495 . . . . . . 7 (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)) ↔ (y N ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N)))
10 3anass 888 . . . . . . 7 ((y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N) ↔ (y N ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N)))
119, 10bitr4i 176 . . . . . 6 (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)) ↔ (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
128, 11sylib 127 . . . . 5 (((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) (y N (w ·N u) N)) → (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
1312an4s 522 . . . 4 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
14 mulcanenqec 6370 . . . 4 ((y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2072 . 2 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 6357 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 6357 . 2 (((x N y N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6354 . 2 ((((x ·N z) N (y ·N w) N) ((x ·N v) N (y ·N u) N)) → ([⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))), ((y ·N w) ·N (y ·N u))⟩] ~Q )
20 mulclpi 6312 . . . . 5 ((z N u N) → (z ·N u) N)
21 mulclpi 6312 . . . . 5 ((w N v N) → (w ·N v) N)
22 addclpi 6311 . . . . 5 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2320, 21, 22syl2an 273 . . . 4 (((z N u N) (w N v N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2423an42s 523 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
25 mulclpi 6312 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2625ad2ant2l 477 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
2724, 26jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N))
28 mulclpi 6312 . . . 4 ((x N z N) → (x ·N z) N)
29 mulclpi 6312 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
3028, 29anim12i 321 . . 3 (((x N z N) (y N w N)) → ((x ·N z) N (y ·N w) N))
3130an4s 522 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N z) N (y ·N w) N))
32 mulclpi 6312 . . . 4 ((x N v N) → (x ·N v) N)
33 mulclpi 6312 . . . 4 ((y N u N) → (y ·N u) N)
3432, 33anim12i 321 . . 3 (((x N v N) (y N u N)) → ((x ·N v) N (y ·N u) N))
3534an4s 522 . 2 (((x N y N) (v N u N)) → ((x ·N v) N (y ·N u) N))
36 an42 521 . . . . 5 (((z N u N) (w N v N)) ↔ ((z N w N) (v N u N)))
3736anbi2i 430 . . . 4 (((x N y N) ((z N u N) (w N v N))) ↔ ((x N y N) ((z N w N) (v N u N))))
38 3anass 888 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) ↔ ((x N y N) ((z N u N) (w N v N))))
39 3anass 888 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) ↔ ((x N y N) ((z N w N) (v N u N))))
4037, 38, 393bitr4i 201 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) ↔ ((x N y N) (z N w N) (v N u N)))
41 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((y N x N) → (y ·N x) N)
4241ancoms 255 . . . . 5 ((x N y N) → (y ·N x) N)
43 distrpig 6317 . . . . 5 (((y ·N x) N (z ·N u) N (w ·N v) N) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1176 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))))
45 simp1r 928 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → y N)
46 simp1l 927 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → x N)
47203ad2ant2 925 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (z ·N u) N)
48213ad2ant3 926 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (w ·N v) N)
4947, 48, 22syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
50 mulasspig 6316 . . . . 5 ((y N x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1134 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
52 mulcompig 6315 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
5352oveq1d 5470 . . . . . . . 8 ((x N y N) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((y ·N x) ·N (z ·N u)))
5453adantr 261 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N u N)) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((y ·N x) ·N (z ·N u)))
55 simpll 481 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → x N)
56 simplr 482 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → y N)
57 simprl 483 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → z N)
58 mulcompig 6315 . . . . . . . . 9 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
5958adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
60 mulasspig 6316 . . . . . . . . 9 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6160adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
62 simprr 484 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → u N)
63 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9 ((f N g N) → (f ·N g) N)
6463adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5627 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N u N)) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
6654, 65eqtr3d 2071 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N)) → ((y ·N x) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
67663adant3 923 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
68 simplr 482 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → y N)
69 simpll 481 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → x N)
70 simprl 483 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → w N)
7158adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
7260adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
73 simprr 484 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → v N)
7463adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5627 . . . . . 6 (((x N y N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (w ·N v)) = ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
76753adant2 922 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (w ·N v)) = ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
7767, 76oveq12d 5473 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
7844, 51, 773eqtr3d 2077 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
7940, 78sylbir 125 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
80703adant2 922 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → w N)
81623adant3 923 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → u N)
8280, 81, 25syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (w ·N u) N)
83 mulasspig 6316 . . . . 5 ((y N y N (w ·N u) N) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = (y ·N (y ·N (w ·N u))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1134 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = (y ·N (y ·N (w ·N u))))
8558adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
8660adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
8763adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5627 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
8984, 88eqtr3d 2071 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (y ·N (y ·N (w ·N u))) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
9040, 89sylbir 125 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (y ·N (w ·N u))) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6154 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A ·Q (B +Q 𝐶)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6390  halfnqq  6393  addnqprl  6512  addnqpru  6513  prmuloclemcalc  6546  distrlem1prl  6558  distrlem1pru  6559  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561
  Copyright terms: Public domain W3C validator