ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Structured version   GIF version

Theorem distrnqg 6232
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A ·Q (B +Q 𝐶)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables u v w x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6193 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6215 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6218 . . 3 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
4 mulclpi 6174 . . . . . . 7 ((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) → (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N)
5 simpl 102 . . . . . . . 8 ((y N (w ·N u) N) → y N)
6 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((y N (w ·N u) N) → (y ·N (w ·N u)) N)
75, 6jca 290 . . . . . . 7 ((y N (w ·N u) N) → (y N (y ·N (w ·N u)) N))
84, 7anim12i 321 . . . . . 6 (((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) (y N (w ·N u) N)) → ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)))
9 an12 480 . . . . . . 7 (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)) ↔ (y N ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N)))
10 3anass 871 . . . . . . 7 ((y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N) ↔ (y N ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N)))
119, 10bitr4i 176 . . . . . 6 (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y N (y ·N (w ·N u)) N)) ↔ (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
128, 11sylib 127 . . . . 5 (((x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) (y N (w ·N u) N)) → (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
1312an4s 507 . . . 4 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → (y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N))
14 mulcanenqec 6231 . . . 4 ((y N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) N (y ·N (w ·N u)) N) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2048 . 2 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 6218 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 6218 . 2 (((x N y N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6215 . 2 ((((x ·N z) N (y ·N w) N) ((x ·N v) N (y ·N u) N)) → ([⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))), ((y ·N w) ·N (y ·N u))⟩] ~Q )
20 mulclpi 6174 . . . . 5 ((z N u N) → (z ·N u) N)
21 mulclpi 6174 . . . . 5 ((w N v N) → (w ·N v) N)
22 addclpi 6173 . . . . 5 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2320, 21, 22syl2an 273 . . . 4 (((z N u N) (w N v N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2423an42s 508 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
25 mulclpi 6174 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2625ad2ant2l 462 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
2724, 26jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N))
28 mulclpi 6174 . . . 4 ((x N z N) → (x ·N z) N)
29 mulclpi 6174 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
3028, 29anim12i 321 . . 3 (((x N z N) (y N w N)) → ((x ·N z) N (y ·N w) N))
3130an4s 507 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N z) N (y ·N w) N))
32 mulclpi 6174 . . . 4 ((x N v N) → (x ·N v) N)
33 mulclpi 6174 . . . 4 ((y N u N) → (y ·N u) N)
3432, 33anim12i 321 . . 3 (((x N v N) (y N u N)) → ((x ·N v) N (y ·N u) N))
3534an4s 507 . 2 (((x N y N) (v N u N)) → ((x ·N v) N (y ·N u) N))
36 an42 506 . . . . 5 (((z N u N) (w N v N)) ↔ ((z N w N) (v N u N)))
3736anbi2i 430 . . . 4 (((x N y N) ((z N u N) (w N v N))) ↔ ((x N y N) ((z N w N) (v N u N))))
38 3anass 871 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) ↔ ((x N y N) ((z N u N) (w N v N))))
39 3anass 871 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) ↔ ((x N y N) ((z N w N) (v N u N))))
4037, 38, 393bitr4i 201 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) ↔ ((x N y N) (z N w N) (v N u N)))
41 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((y N x N) → (y ·N x) N)
4241ancoms 255 . . . . 5 ((x N y N) → (y ·N x) N)
43 distrpig 6179 . . . . 5 (((y ·N x) N (z ·N u) N (w ·N v) N) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1158 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))))
45 simp1r 911 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → y N)
46 simp1l 910 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → x N)
47203ad2ant2 908 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (z ·N u) N)
48213ad2ant3 909 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (w ·N v) N)
4947, 48, 22syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
50 mulasspig 6178 . . . . 5 ((y N x N ((z ·N u) +N (w ·N v)) N) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1116 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
52 mulcompig 6177 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
5352oveq1d 5439 . . . . . . . 8 ((x N y N) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((y ·N x) ·N (z ·N u)))
5453adantr 261 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N u N)) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((y ·N x) ·N (z ·N u)))
55 simpll 466 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → x N)
56 simplr 467 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → y N)
57 simprl 468 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → z N)
58 mulcompig 6177 . . . . . . . . 9 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
5958adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
60 mulasspig 6178 . . . . . . . . 9 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6160adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
62 simprr 469 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N u N)) → u N)
63 mulclpi 6174 . . . . . . . . 9 ((f N g N) → (f ·N g) N)
6463adantl 262 . . . . . . . 8 ((((x N y N) (z N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5596 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N u N)) → ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
6654, 65eqtr3d 2047 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N)) → ((y ·N x) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
67663adant3 906 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u)))
68 simplr 467 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → y N)
69 simpll 466 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → x N)
70 simprl 468 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → w N)
7158adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
7260adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
73 simprr 469 . . . . . . 7 (((x N y N) (w N v N)) → v N)
7463adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5596 . . . . . 6 (((x N y N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (w ·N v)) = ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
76753adant2 905 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N x) ·N (w ·N v)) = ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
7767, 76oveq12d 5442 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
7844, 51, 773eqtr3d 2053 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
7940, 78sylbir 125 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))))
80703adant2 905 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → w N)
81623adant3 906 . . . . . 6 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → u N)
8280, 81, 25syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (w ·N u) N)
83 mulasspig 6178 . . . . 5 ((y N y N (w ·N u) N) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = (y ·N (y ·N (w ·N u))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1116 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = (y ·N (y ·N (w ·N u))))
8558adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
8660adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
8763adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N u N) (w N v N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5596 . . . 4 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
8984, 88eqtr3d 2047 . . 3 (((x N y N) (z N u N) (w N v N)) → (y ·N (y ·N (w ·N u))) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
9040, 89sylbir 125 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (y ·N (w ·N u))) = ((y ·N w) ·N (y ·N u)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6117 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A ·Q (B +Q 𝐶)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342  (class class class)co 5424  [cec 6003  Ncnpi 6118   +N cpli 6119   ·N cmi 6120   ~Q ceq 6125  Qcnq 6126   +Q cplq 6128   ·Q cmq 6129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6251  halfnqq  6253  addnqprl  6370  addnqpru  6371  prmuloclemcalc  6395  distrlem1prl  6407  distrlem1pru  6408  distrlem4prl  6409  distrlem4pru  6410
  Copyright terms: Public domain W3C validator