ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg Structured version   GIF version

Theorem ltrnqg 6403
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6404. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (*QB) <Q (*QA)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6376 . . . 4 (A Q → (*QA) Q)
2 recclnq 6376 . . . 4 (B Q → (*QB) Q)
3 mulclnq 6360 . . . 4 (((*QA) Q (*QB) Q) → ((*QA) ·Q (*QB)) Q)
41, 2, 3syl2an 273 . . 3 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q (*QB)) Q)
5 ltmnqg 6385 . . 3 ((A Q B Q ((*QA) ·Q (*QB)) Q) → (A <Q B ↔ (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B)))
64, 5mpd3an3 1232 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B)))
7 simpl 102 . . . . . 6 ((A Q B Q) → A Q)
8 mulcomnqg 6367 . . . . . 6 ((((*QA) ·Q (*QB)) Q A Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
94, 7, 8syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
101adantr 261 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (*QA) Q)
112adantl 262 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (*QB) Q)
12 mulassnqg 6368 . . . . . 6 ((A Q (*QA) Q (*QB) Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1134 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
14 mulclnq 6360 . . . . . . 7 ((A Q (*QA) Q) → (A ·Q (*QA)) Q)
157, 10, 14syl2anc 391 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (A ·Q (*QA)) Q)
16 mulcomnqg 6367 . . . . . 6 (((A ·Q (*QA)) Q (*QB) Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
1715, 11, 16syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
189, 13, 173eqtr2d 2075 . . . 4 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
19 recidnq 6377 . . . . . 6 (A Q → (A ·Q (*QA)) = 1Q)
2019oveq2d 5471 . . . . 5 (A Q → ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))) = ((*QB) ·Q 1Q))
21 mulidnq 6373 . . . . . 6 ((*QB) Q → ((*QB) ·Q 1Q) = (*QB))
222, 21syl 14 . . . . 5 (B Q → ((*QB) ·Q 1Q) = (*QB))
2320, 22sylan9eq 2089 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))) = (*QB))
2418, 23eqtrd 2069 . . 3 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (*QB))
25 simpr 103 . . . . 5 ((A Q B Q) → B Q)
26 mulassnqg 6368 . . . . 5 (((*QA) Q (*QB) Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1134 . . . 4 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)))
28 mulcomnqg 6367 . . . . . 6 (((*QB) Q B Q) → ((*QB) ·Q B) = (B ·Q (*QB)))
2911, 25, 28syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((*QB) ·Q B) = (B ·Q (*QB)))
3029oveq2d 5471 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)) = ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))))
31 recidnq 6377 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q (*QB)) = 1Q)
3231oveq2d 5471 . . . . 5 (B Q → ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))) = ((*QA) ·Q 1Q))
33 mulidnq 6373 . . . . . 6 ((*QA) Q → ((*QA) ·Q 1Q) = (*QA))
341, 33syl 14 . . . . 5 (A Q → ((*QA) ·Q 1Q) = (*QA))
3532, 34sylan9eqr 2091 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))) = (*QA))
3627, 30, 353eqtrd 2073 . . 3 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = (*QA))
3724, 36breq12d 3768 . 2 ((A Q B Q) → ((((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) ↔ (*QB) <Q (*QA)))
386, 37bitrd 177 1 ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (*QB) <Q (*QA)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltrnqi  6404  recexprlemloc  6601
  Copyright terms: Public domain W3C validator