Theorem ltrnqg 6403

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6404. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 6376	. . . 4 ⊢ (A ∈ Q → (*Q‘A) ∈ Q)
2		recclnq 6376	. . . 4 ⊢ (B ∈ Q → (*Q‘B) ∈ Q)
3		mulclnq 6360	. . . 4 ⊢ (((*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q)
4	1, 2, 3	syl2an 273	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q)
5		ltmnqg 6385	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q) → (A <Q B ↔ (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B)))
6	4, 5	mpd3an3 1232	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B)))
7		simpl 102	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A ∈ Q)
8		mulcomnqg 6367	. . . . . 6 ⊢ ((((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q ∧ A ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
9	4, 7, 8	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
10	1	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (*Q‘A) ∈ Q)
11	2	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (*Q‘B) ∈ Q)
12		mulassnqg 6368	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1134	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
14		mulclnq 6360	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (*Q‘A) ∈ Q) → (A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q)
15	7, 10, 14	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q)
16		mulcomnqg 6367	. . . . . 6 ⊢ (((A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
17	15, 11, 16	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2075	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
19		recidnq 6377	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ Q → (A ·Q (*Q‘A)) = 1Q)
20	19	oveq2d 5471	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))) = ((*Q‘B) ·Q 1Q))
21		mulidnq 6373	. . . . . 6 ⊢ ((*Q‘B) ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q 1Q) = (*Q‘B))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q 1Q) = (*Q‘B))
23	20, 22	sylan9eq 2089	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))) = (*Q‘B))
24	18, 23	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (*Q‘B))
25		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → B ∈ Q)
26		mulassnqg 6368	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)))
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)))
28		mulcomnqg 6367	. . . . . 6 ⊢ (((*Q‘B) ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q B) = (B ·Q (*Q‘B)))
29	11, 25, 28	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q B) = (B ·Q (*Q‘B)))
30	29	oveq2d 5471	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)) = ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))))
31		recidnq 6377	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q (*Q‘B)) = 1Q)
32	31	oveq2d 5471	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))) = ((*Q‘A) ·Q 1Q))
33		mulidnq 6373	. . . . . 6 ⊢ ((*Q‘A) ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q 1Q) = (*Q‘A))
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q 1Q) = (*Q‘A))
35	32, 34	sylan9eqr 2091	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))) = (*Q‘A))
36	27, 30, 35	3eqtrd 2073	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = (*Q‘A))
37	24, 36	breq12d 3768	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))
38	6, 37	bitrd 177	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1_Qc1q 6265   ·_Q cmq 6267  *_Qcrq 6268   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltrnqi  6404  recexprlemloc  6603  archrecnq  6635