ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 6518
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6519. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6490 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 recclnq 6490 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
3 mulclnq 6474 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
41, 2, 3syl2an 273 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
5 ltmnqg 6499 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q ∧ ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1233 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
7 simpl 102 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
8 mulcomnqg 6481 . . . . . 6 ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q𝐴Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
94, 7, 8syl2anc 391 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
101adantr 261 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
112adantl 262 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐵) ∈ Q)
12 mulassnqg 6482 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1135 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
14 mulclnq 6474 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
157, 10, 14syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
16 mulcomnqg 6481 . . . . . 6 (((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
1715, 11, 16syl2anc 391 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
189, 13, 173eqtr2d 2078 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
19 recidnq 6491 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2019oveq2d 5528 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = ((*Q𝐵) ·Q 1Q))
21 mulidnq 6487 . . . . . 6 ((*Q𝐵) ∈ Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
222, 21syl 14 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
2320, 22sylan9eq 2092 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = (*Q𝐵))
2418, 23eqtrd 2072 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (*Q𝐵))
25 simpr 103 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
26 mulassnqg 6482 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1135 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
28 mulcomnqg 6481 . . . . . 6 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
2911, 25, 28syl2anc 391 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
3029oveq2d 5528 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)) = ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
31 recidnq 6491 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
3231oveq2d 5528 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ((*Q𝐴) ·Q 1Q))
33 mulidnq 6487 . . . . . 6 ((*Q𝐴) ∈ Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
341, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
3532, 34sylan9eqr 2094 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = (*Q𝐴))
3627, 30, 353eqtrd 2076 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = (*Q𝐴))
3724, 36breq12d 3777 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
386, 37bitrd 177 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  Qcnq 6378  1Qc1q 6379   ·Q cmq 6381  *Qcrq 6382   <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  ltrnqi  6519  recexprlemloc  6729  archrecnq  6761
  Copyright terms: Public domain W3C validator