Theorem ltrnqg 6263

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6264. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 6237	. . . 4 ⊢ (A ∈ Q → (*Q‘A) ∈ Q)
2		recclnq 6237	. . . 4 ⊢ (B ∈ Q → (*Q‘B) ∈ Q)
3		mulclnq 6221	. . . 4 ⊢ (((*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q)
4	1, 2, 3	syl2an 273	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q)
5		ltmnqg 6246	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q) → (A <Q B ↔ (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B)))
6	4, 5	mpd3an3 1213	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B)))
7		simpl 102	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A ∈ Q)
8		mulcomnqg 6228	. . . . . 6 ⊢ ((((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ∈ Q ∧ A ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
9	4, 7, 8	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
10	1	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (*Q‘A) ∈ Q)
11	2	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (*Q‘B) ∈ Q)
12		mulassnqg 6229	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1116	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = (A ·Q ((*Q‘A) ·Q (*Q‘B))))
14		mulclnq 6221	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (*Q‘A) ∈ Q) → (A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q)
15	7, 10, 14	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q)
16		mulcomnqg 6228	. . . . . 6 ⊢ (((A ·Q (*Q‘A)) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
17	15, 11, 16	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A ·Q (*Q‘A)) ·Q (*Q‘B)) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2051	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))))
19		recidnq 6238	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ Q → (A ·Q (*Q‘A)) = 1Q)
20	19	oveq2d 5440	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))) = ((*Q‘B) ·Q 1Q))
21		mulidnq 6234	. . . . . 6 ⊢ ((*Q‘B) ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q 1Q) = (*Q‘B))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((*Q‘B) ·Q 1Q) = (*Q‘B))
23	20, 22	sylan9eq 2065	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q (A ·Q (*Q‘A))) = (*Q‘B))
24	18, 23	eqtrd 2045	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) = (*Q‘B))
25		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → B ∈ Q)
26		mulassnqg 6229	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘A) ∈ Q ∧ (*Q‘B) ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)))
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1116	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)))
28		mulcomnqg 6228	. . . . . 6 ⊢ (((*Q‘B) ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q B) = (B ·Q (*Q‘B)))
29	11, 25, 28	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘B) ·Q B) = (B ·Q (*Q‘B)))
30	29	oveq2d 5440	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q ((*Q‘B) ·Q B)) = ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))))
31		recidnq 6238	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q (*Q‘B)) = 1Q)
32	31	oveq2d 5440	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))) = ((*Q‘A) ·Q 1Q))
33		mulidnq 6234	. . . . . 6 ⊢ ((*Q‘A) ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q 1Q) = (*Q‘A))
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → ((*Q‘A) ·Q 1Q) = (*Q‘A))
35	32, 34	sylan9eqr 2067	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) ·Q (B ·Q (*Q‘B))) = (*Q‘A))
36	27, 30, 35	3eqtrd 2049	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) = (*Q‘A))
37	24, 36	breq12d 3740	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q A) <Q (((*Q‘A) ·Q (*Q‘B)) ·Q B) ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))
38	6, 37	bitrd 177	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ (*Q‘B) <Q (*Q‘A)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1223   ∈ wcel 1366   class class class wbr 3727  ‘cfv 4817  (class class class)co 5424  Qcnq 6126  1_Qc1q 6127   ·_Q cmq 6129  *_Qcrq 6130   <_Q cltq 6131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-mi 6152  df-lti 6153  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198

This theorem is referenced by:  ltrnqi  6264  recexprlemloc  6452