ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg Structured version   GIF version

Theorem ltrnqg 6263
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6264. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (*QB) <Q (*QA)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6237 . . . 4 (A Q → (*QA) Q)
2 recclnq 6237 . . . 4 (B Q → (*QB) Q)
3 mulclnq 6221 . . . 4 (((*QA) Q (*QB) Q) → ((*QA) ·Q (*QB)) Q)
41, 2, 3syl2an 273 . . 3 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q (*QB)) Q)
5 ltmnqg 6246 . . 3 ((A Q B Q ((*QA) ·Q (*QB)) Q) → (A <Q B ↔ (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B)))
64, 5mpd3an3 1213 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B)))
7 simpl 102 . . . . . 6 ((A Q B Q) → A Q)
8 mulcomnqg 6228 . . . . . 6 ((((*QA) ·Q (*QB)) Q A Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
94, 7, 8syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
101adantr 261 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (*QA) Q)
112adantl 262 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (*QB) Q)
12 mulassnqg 6229 . . . . . 6 ((A Q (*QA) Q (*QB) Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1116 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = (A ·Q ((*QA) ·Q (*QB))))
14 mulclnq 6221 . . . . . . 7 ((A Q (*QA) Q) → (A ·Q (*QA)) Q)
157, 10, 14syl2anc 391 . . . . . 6 ((A Q B Q) → (A ·Q (*QA)) Q)
16 mulcomnqg 6228 . . . . . 6 (((A ·Q (*QA)) Q (*QB) Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
1715, 11, 16syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((A ·Q (*QA)) ·Q (*QB)) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
189, 13, 173eqtr2d 2051 . . . 4 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))))
19 recidnq 6238 . . . . . 6 (A Q → (A ·Q (*QA)) = 1Q)
2019oveq2d 5440 . . . . 5 (A Q → ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))) = ((*QB) ·Q 1Q))
21 mulidnq 6234 . . . . . 6 ((*QB) Q → ((*QB) ·Q 1Q) = (*QB))
222, 21syl 14 . . . . 5 (B Q → ((*QB) ·Q 1Q) = (*QB))
2320, 22sylan9eq 2065 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QB) ·Q (A ·Q (*QA))) = (*QB))
2418, 23eqtrd 2045 . . 3 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) = (*QB))
25 simpr 103 . . . . 5 ((A Q B Q) → B Q)
26 mulassnqg 6229 . . . . 5 (((*QA) Q (*QB) Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1116 . . . 4 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)))
28 mulcomnqg 6228 . . . . . 6 (((*QB) Q B Q) → ((*QB) ·Q B) = (B ·Q (*QB)))
2911, 25, 28syl2anc 391 . . . . 5 ((A Q B Q) → ((*QB) ·Q B) = (B ·Q (*QB)))
3029oveq2d 5440 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q ((*QB) ·Q B)) = ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))))
31 recidnq 6238 . . . . . 6 (B Q → (B ·Q (*QB)) = 1Q)
3231oveq2d 5440 . . . . 5 (B Q → ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))) = ((*QA) ·Q 1Q))
33 mulidnq 6234 . . . . . 6 ((*QA) Q → ((*QA) ·Q 1Q) = (*QA))
341, 33syl 14 . . . . 5 (A Q → ((*QA) ·Q 1Q) = (*QA))
3532, 34sylan9eqr 2067 . . . 4 ((A Q B Q) → ((*QA) ·Q (B ·Q (*QB))) = (*QA))
3627, 30, 353eqtrd 2049 . . 3 ((A Q B Q) → (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) = (*QA))
3724, 36breq12d 3740 . 2 ((A Q B Q) → ((((*QA) ·Q (*QB)) ·Q A) <Q (((*QA) ·Q (*QB)) ·Q B) ↔ (*QB) <Q (*QA)))
386, 37bitrd 177 1 ((A Q B Q) → (A <Q B ↔ (*QB) <Q (*QA)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1223   wcel 1366   class class class wbr 3727  cfv 4817  (class class class)co 5424  Qcnq 6126  1Qc1q 6127   ·Q cmq 6129  *Qcrq 6130   <Q cltq 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-mi 6152  df-lti 6153  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198
This theorem is referenced by:  ltrnqi  6264  recexprlemloc  6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator