Theorem eceq1d 6142

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 6141	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243  [cec 6104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-ec 6108

This theorem is referenced by:  brecop  6196  eroveu  6197  th3qlem1  6208  th3qlem2  6209  th3q  6211  oviec  6212  ecovcom  6213  ecovicom  6214  ecovass  6215  ecoviass  6216  ecovdi  6217  ecovidi  6218  mulidnq  6487  recexnq  6488  ltexnqq  6506  archnqq  6515  prarloclemarch2  6517  addnq0mo  6545  mulnq0mo  6546  addnnnq0  6547  mulnnnq0  6548  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553  nq0a0  6555  nnanq0  6556  distrnq0  6557  mulcomnq0  6558  addassnq0  6560  addpinq1  6562  nq02m  6563  prarloclemlo  6592  prarloclem3  6595  prarloclem5  6598  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemdisj  6772  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemcl  6774  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprlem1  6777  caucvgprlem2  6778  caucvgpr  6780  caucvgprprlemell  6783  caucvgprprlemelu  6784  caucvgprprlemcbv  6785  caucvgprprlemval  6786  caucvgprprlemnkeqj  6788  caucvgprprlemmu  6793  caucvgprprlemopl  6795  caucvgprprlemlol  6796  caucvgprprlemopu  6797  caucvgprprlemloc  6801  caucvgprprlemclphr  6803  caucvgprprlemexbt  6804  caucvgprprlem1  6807  caucvgprprlem2  6808  addsrmo  6828  mulsrmo  6829  addsrpr  6830  mulsrpr  6831  prsrriota  6872  caucvgsrlemfv  6875  caucvgsr  6886  pitonnlem2  6923  pitonn  6924  nntopi  6968  axcaucvglemval  6971