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Theorem recexprlem1ssu 6732
Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of  A  .P.  B. Lemma for recexpr 6736. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssu  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssu
Dummy variables  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pru 6654 . . . 4  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
w  |  1Q  <Q  w }
21abeq2i 2148 . . 3  |-  ( w  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  w )
3 prop 6573 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
4 prmuloc2 6665 . . . . . 6  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )
53, 4sylan 267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A
) )
6 prnminu 6587 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
) )
73, 6sylan 267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
) )
87ad2ant2rl 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) z  <Q  (
v  .Q  w ) )
9 simp3 906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  z  <Q  ( v  .Q  w
) )
10 simp2l 930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  v  e.  ( 1st `  A
) )
11 elprnql 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
123, 11sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
1312ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  v  e.  Q. )
14133adant3 924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  v  e.  Q. )
15 simp1r 929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  1Q  <Q  w )
16 ltrelnq 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1716brel 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q 
<Q  w  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1Q 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  w  e.  Q. )
20 recclnq 6490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
22 mulassnqg 6482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q.  /\  ( *Q `  w )  e. 
Q. )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  ( v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  ( v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
24 recidnq 6491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
2519, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
2625oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( v  .Q  1Q ) )
27 mulidnq 6487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  1Q )  =  v )
2814, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  1Q )  =  v )
2923, 26, 283eqtrd 2076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  v )
3029eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
)  <->  v  e.  ( 1st `  A ) ) )
3110, 30mpbird 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 1st `  A
) )
32 ltrnqi 6519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  <Q  ( *Q `  z ) )
33 ltmnqg 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f ) 
<Q  ( h  .Q  g
) ) )
35 mulclnq 6474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  .Q  w
)  e.  Q. )
3614, 19, 35syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  w )  e.  Q. )
37 recclnq 6490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e. 
Q. )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e. 
Q. )
3916brel 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  ( z  e.  Q.  /\  ( v  .Q  w )  e. 
Q. ) )
4039simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  z  e.  Q. )
419, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  z  e.  Q. )
42 recclnq 6490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
44 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  =  ( g  .Q  f ) )
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  =  ( g  .Q  f ) )
4634, 38, 43, 19, 45caovord2d 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  <Q  ( *Q `  z )  <->  ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
4732, 46syl5ib 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
z  <Q  ( v  .Q  w )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
48 1nq 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1Q  e.  Q.
49 mulidnq 6487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
51 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( v  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  ( v  .Q  w ) ) )  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) ) )
5237, 51mpdan 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  ( v  .Q  w ) ) )  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) ) )
53 recidnq 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  ( v  .Q  w ) ) )  =  1Q )
5452, 53eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w ) )  =  1Q )
5554, 24oveqan12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  .Q  w
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
5636, 19, 55syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( 1Q  .Q  1Q ) )
57 mulassnqg 6482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
5857adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  .Q  g )  .Q  h
)  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h ) ) )
59 mulclnq 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
6059adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  e.  Q. )
6138, 36, 19, 45, 58, 21, 60caov4d 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
6256, 61eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  ( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) ) ) )
6350, 62syl5reqr 2087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
)  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  1Q )
6460, 38, 19caovcld 5654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  e.  Q. )
6560, 36, 21caovcld 5654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  Q. )
66 recmulnqg 6489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  =  ( ( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6764, 65, 66syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  =  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
6863, 67mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  =  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) )
6968eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  e.  ( 1st `  A )  <->  ( (
v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
) ) )
7069biimprd 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
)  ->  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) )
71 breq1 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
y  <Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <->  ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
72 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) ) )
7372eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A )  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) )
7471, 73anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) )  <->  ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
7574spcegv 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. y
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
7664, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. y
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
77 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
7877recexprlemelu 6721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B
)  <->  E. y ( y 
<Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) )
7976, 78syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
8047, 70, 79syl2and 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( z  <Q  (
v  .Q  w )  /\  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
819, 31, 80mp2and 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B
) )
82 mulidnq 6487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
83 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8448, 83mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8582, 84eqtr3d 2074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8685adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
87 recidnq 6491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8887oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8988adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
90 mulassnqg 6482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  z )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
9142, 90syl3an2 1169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
92913anidm12 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9386, 89, 923eqtr2d 2078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9441, 19, 93syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
95 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9695eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9796rspcev 2656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  B )  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B ) w  =  ( z  .Q  x ) )
9881, 94, 97syl2anc 391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) )
99983expia 1106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
z  <Q  ( v  .Q  w )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10099reximdv 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10177recexprlempr 6730 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
102 df-imp 6567 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  <. { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 1st `  y )  /\  g  e.  ( 1st `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 2nd `  y )  /\  g  e.  ( 2nd `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } >. )
103102, 59genpelvu 6611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) E. x  e.  ( 2nd `  B ) w  =  ( z  .Q  x
) ) )
104101, 103mpdan 398 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
105104ad2antrr 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
106100, 105sylibrd 158 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1078, 106mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
1085, 107rexlimddv 2437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) ) )
109108ex 108 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1Q  <Q  w  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1102, 109syl5bi 141 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 2nd `  1P )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
111110ssrdv 2951 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307    C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1stc1st 5765   2ndc2nd 5766   Q.cnq 6378   1Qc1q 6379    .Q cmq 6381   *Qcrq 6382    <Q cltq 6383   P.cnp 6389   1Pc1p 6390    .P. cmp 6392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-imp 6567
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6735
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