ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlem1ssu Unicode version

Theorem recexprlem1ssu 6606
Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of  .P. . Lemma for recexpr 6610. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  <. {  |  <Q  *Q `  2nd `  } ,  {  |  <Q  *Q `  1st `  } >.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssu  P.  2nd `  1P  C_  2nd ` 
.P.
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem recexprlem1ssu
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pru 6537 . . . 4  2nd `  1P  {  |  1Q  <Q  }
21abeq2i 2145 . . 3  2nd `  1P  1Q  <Q
3 prop 6458 . . . . . 6  P.  <. 1st `  ,  2nd `  >.  P.
4 prmuloc2 6548 . . . . . 6 
<. 1st `  ,  2nd `  >.  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `
53, 4sylan 267 . . . . 5  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `
6 prnminu 6472 . . . . . . . 8 
<. 1st `  ,  2nd `  >.  P.  .Q  2nd `  2nd ` 
<Q  .Q
73, 6sylan 267 . . . . . . 7  P.  .Q  2nd `  2nd ` 
<Q  .Q
87ad2ant2rl 480 . . . . . 6  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  2nd `  <Q  .Q
9 simp3 905 . . . . . . . . . . 11  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  <Q  .Q
10 simp2l 929 . . . . . . . . . . . 12  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  1st `
11 elprnql 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
<. 1st `  ,  2nd `  >.  P.  1st `  Q.
123, 11sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  1st `  Q.
1312ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  Q.
14133adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.
15 simp1r 928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  1Q  <Q
16 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <Q  C_  Q.  X.  Q.
1716brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1Q 
<Q  1Q  Q.  Q.
1817simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1Q 
<Q  Q.
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.
20 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Q.  *Q ` 
Q.
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q ` 
Q.
22 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  Q.  *Q ` 
Q.  .Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  *Q `
2314, 19, 21, 22syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  *Q `
24 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Q.  .Q  *Q `  1Q
2519, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  *Q `  1Q
2625oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  .Q  1Q
27 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  .Q  1Q
2814, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  1Q
2923, 26, 283eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `
3029eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1st `  1st `
3110, 30mpbird 156 . . . . . . . . . . 11  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1st `
32 ltrnqi 6404 . . . . . . . . . . . . 13 
<Q  .Q  *Q `  .Q  <Q  *Q `
33 ltmnqg 6385 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  .Q  <Q  h  .Q
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  .Q  <Q  h  .Q
35 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Q.  Q.  .Q  Q.
3614, 19, 35syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q 
Q.
37 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . 15  .Q  Q.  *Q `  .Q  Q.
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  Q.
3916brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
<Q  .Q 
Q.  .Q  Q.
4039simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
<Q  .Q  Q.
419, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.
42 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  *Q ` 
Q.
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q ` 
Q.
44 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  Q.  .Q  .Q
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.  Q.  .Q  .Q
4634, 38, 43, 19, 45caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q 
<Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q
4732, 46syl5ib 143 . . . . . . . . . . . 12  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q
48 1nq 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1Q  Q.
49 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1Q  Q.  1Q  .Q  1Q  1Q
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1Q 
.Q  1Q  1Q
51 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  .Q  Q.  *Q `  .Q  Q.  .Q  .Q  *Q `  .Q  *Q `  .Q  .Q  .Q
5237, 51mpdan 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  .Q  Q.  .Q  .Q  *Q `  .Q  *Q `  .Q  .Q  .Q
53 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  .Q  Q.  .Q  .Q  *Q `  .Q  1Q
5452, 53eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  .Q  Q.  *Q `  .Q  .Q  .Q  1Q
5554, 24oveqan12d 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  .Q  Q.  Q.  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1Q  .Q  1Q
5636, 19, 55syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1Q  .Q  1Q
57 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Q.  Q.  h  Q.  .Q  .Q  h  .Q  .Q  h
5857adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.  Q.  h  Q.  .Q  .Q  h  .Q  .Q  h
59 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Q.  Q.  .Q  Q.
6059adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  Q.  Q.  .Q  Q.
6138, 36, 19, 45, 58, 21, 60caov4d 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `
6256, 61eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  1Q  .Q  1Q  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `
6350, 62syl5reqr 2084 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1Q
6460, 38, 19caovcld 5596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q 
Q.
6560, 36, 21caovcld 5596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  Q.
66 recmulnqg 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  *Q `  .Q  .Q  Q.  .Q  .Q  *Q `  Q.  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1Q
6764, 65, 66syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1Q
6863, 67mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  .Q  .Q  *Q `
6968eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `  .Q  .Q  *Q `  1st `
7069biimprd 147 . . . . . . . . . . . 12  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1st `  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `
71 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q
72 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  *Q `  .Q  .Q  *Q `  *Q `  *Q `  .Q  .Q
7372eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  *Q `  .Q  .Q  *Q `  1st `  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `
7471, 73anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  *Q `  .Q  .Q 
<Q  *Q `  .Q  *Q `  1st `  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `
7574spcegv 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  *Q `  .Q  .Q 
Q.  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `  <Q  *Q `  .Q  *Q `  1st `
7664, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `  <Q  *Q `  .Q  *Q `  1st `
77 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  <. {  |  <Q  *Q `  2nd `  } ,  {  |  <Q  *Q `  1st `  } >.
7877recexprlemelu 6595 . . . . . . . . . . . . 13  *Q `  .Q  2nd ` 
<Q  *Q `  .Q  *Q `  1st `
7976, 78syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . 12  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  .Q  <Q  *Q `  .Q  *Q `  *Q `  .Q  .Q  1st `  *Q `  .Q  2nd `
8047, 70, 79syl2and 279 . . . . . . . . . . 11  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  <Q  .Q  .Q  .Q  *Q `  1st `  *Q `  .Q  2nd `
819, 31, 80mp2and 409 . . . . . . . . . 10  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  *Q `  .Q  2nd `
82 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  .Q  1Q
83 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  1Q  Q.  .Q  1Q  1Q  .Q
8448, 83mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  .Q  1Q  1Q  .Q
8582, 84eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . 13  Q.  1Q  .Q
8685adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  Q.  Q.  1Q 
.Q
87 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  .Q  *Q `  1Q
8887oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13  Q.  .Q  *Q `  .Q  1Q  .Q
8988adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  Q.  Q.  .Q  *Q `  .Q  1Q  .Q
90 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  *Q `  Q.  Q.  .Q  *Q `  .Q  .Q  *Q `  .Q
9142, 90syl3an2 1168 . . . . . . . . . . . . 13  Q.  Q.  Q.  .Q  *Q `  .Q  .Q  *Q `  .Q
92913anidm12 1191 . . . . . . . . . . . 12  Q.  Q.  .Q  *Q `  .Q  .Q  *Q `  .Q
9386, 89, 923eqtr2d 2075 . . . . . . . . . . 11  Q.  Q.  .Q  *Q `  .Q
9441, 19, 93syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  .Q  *Q `  .Q
95 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . 12  *Q `  .Q  .Q  .Q  *Q `  .Q
9695eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11  *Q `  .Q  .Q  .Q  *Q `  .Q
9796rspcev 2650 . . . . . . . . . 10  *Q `  .Q  2nd `  .Q  *Q `  .Q  2nd `  .Q
9881, 94, 97syl2anc 391 . . . . . . . . 9  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  2nd `  .Q
99983expia 1105 . . . . . . . 8  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  <Q  .Q  2nd `  .Q
10099reximdv 2414 . . . . . . 7  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  2nd `  <Q  .Q  2nd `  2nd `  .Q
10177recexprlempr 6604 . . . . . . . . 9  P.  P.
102 df-imp 6452 . . . . . . . . . 10  .P.  P. ,  P.  |->  <. {  Q.  |  Q.  Q.  1st `  1st `  .Q  } ,  {  Q.  |  Q.  Q.  2nd `  2nd `  .Q  } >.
103102, 59genpelvu 6496 . . . . . . . . 9  P.  P.  2nd ` 
.P.  2nd `  2nd `  .Q
104101, 103mpdan 398 . . . . . . . 8  P.  2nd `  .P.  2nd `  2nd `  .Q
105104ad2antrr 457 . . . . . . 7  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  2nd ` 
.P.  2nd `  2nd `  .Q
106100, 105sylibrd 158 . . . . . 6  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  2nd `  <Q  .Q  2nd `  .P.
1078, 106mpd 13 . . . . 5  P.  1Q  <Q  1st `  .Q  2nd `  2nd `  .P.
1085, 107rexlimddv 2431 . . . 4  P.  1Q  <Q  2nd `  .P.
109108ex 108 . . 3  P.  1Q  <Q  2nd `  .P.
1102, 109syl5bi 141 . 2  P.  2nd `  1P  2nd `  .P.
111110ssrdv 2945 1  P.  2nd `  1P  C_  2nd ` 
.P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264   1Qc1q 6265    .Q cmq 6267   *Qcrq 6268    <Q cltq 6269   P.cnp 6275   1Pc1p 6276    .P. cmp 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-imp 6452
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6609
  Copyright terms: Public domain W3C validator