Theorem caucvgsrlemasr 6874

Description: Lemma for caucvgsr 6886. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2		ltrelsr 6823	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → (𝐴 ∈ R ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ R))
4	3	simpld 105	. . . 4 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → 𝐴 ∈ R)
5	4	ralimi 2384	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
7		1pi 6413	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ N
8		elex2 2570	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ N → ∃𝑥 𝑥 ∈ N)
9		r19.3rmv 3312	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ N → (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
11	6, 10	sylibr 137	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  1_𝑜c1o 5994  Ncnpi 6370  Rcnr 6395   <_R cltr 6401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-1o 6001  df-ni 6402  df-ltr 6815

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  6880  caucvgsrlemofff  6881  caucvgsrlemoffcau  6882  caucvgsrlemoffgt1  6883  caucvgsrlemoffres  6884