ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloclemcalc Structured version   GIF version

Theorem prmuloclemcalc 6536
Description: Calculations for prmuloc 6537. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru (φ𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb (φ → (A +Q 𝑋) = B)
prmuloclemcalc.pbrx (φ → (𝑃 ·Q B) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a (φA Q)
prmuloclemcalc.b (φB Q)
prmuloclemcalc.d (φ𝐷 Q)
prmuloclemcalc.p (φ𝑃 Q)
prmuloclemcalc.x (φ𝑋 Q)
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc (φ → (𝑈 ·Q A) <Q (𝐷 ·Q B))

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7 (φ → (A +Q 𝑋) = B)
21oveq2d 5468 . . . . . 6 (φ → (𝑈 ·Q (A +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q B))
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9 (φ𝑅 <Q 𝑈)
4 ltrelnq 6342 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4334 . . . . . . . . 9 (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅 Q 𝑈 Q))
63, 5syl 14 . . . . . . . 8 (φ → (𝑅 Q 𝑈 Q))
76simprd 107 . . . . . . 7 (φ𝑈 Q)
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7 (φA Q)
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7 (φ𝑋 Q)
10 distrnqg 6364 . . . . . . 7 ((𝑈 Q A Q 𝑋 Q) → (𝑈 ·Q (A +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1134 . . . . . 6 (φ → (𝑈 ·Q (A +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
122, 11eqtr3d 2071 . . . . 5 (φ → (𝑈 ·Q B) = ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7 (φB Q)
14 mulcomnqg 6360 . . . . . . 7 ((B Q 𝑈 Q) → (B ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q B))
1513, 7, 14syl2anc 391 . . . . . 6 (φ → (B ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q B))
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10 (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17 ltmnqi 6380 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) B Q) → (B ·Q 𝑈) <Q (B ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
1816, 13, 17syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (B ·Q 𝑈) <Q (B ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10 (φ𝐷 Q)
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10 (φ𝑃 Q)
21 distrnqg 6364 . . . . . . . . . 10 ((B Q 𝐷 Q 𝑃 Q) → (B ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (φ → (B ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)))
2318, 22breqtrd 3778 . . . . . . . 8 (φ → (B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)))
24 mulcomnqg 6360 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 Q B Q) → (𝑃 ·Q B) = (B ·Q 𝑃))
2520, 13, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (φ → (𝑃 ·Q B) = (B ·Q 𝑃))
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10 (φ → (𝑃 ·Q B) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
2725, 26eqbrtrrd 3776 . . . . . . . . 9 (φ → (B ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28 mulclnq 6353 . . . . . . . . . 10 ((B Q 𝐷 Q) → (B ·Q 𝐷) Q)
2913, 19, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (B ·Q 𝐷) Q)
30 ltanqi 6379 . . . . . . . . 9 (((B ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) (B ·Q 𝐷) Q) → ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3127, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8 (φ → ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32 ltsonq 6375 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
3332, 4sotri 4662 . . . . . . . 8 (((B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)) ((B ·Q 𝐷) +Q (B ·Q 𝑃)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3423, 31, 33syl2anc 391 . . . . . . 7 (φ → (B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35 ltmnqi 6380 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 <Q 𝑈 𝑋 Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
363, 9, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
376simpld 105 . . . . . . . . . 10 (φ𝑅 Q)
38 mulcomnqg 6360 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Q 𝑅 Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
399, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40 mulcomnqg 6360 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Q 𝑈 Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
419, 7, 40syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
4236, 39, 413brtr3d 3783 . . . . . . . 8 (φ → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43 ltanqi 6379 . . . . . . . 8 (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) (B ·Q 𝐷) Q) → ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4442, 29, 43syl2anc 391 . . . . . . 7 (φ → ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4532, 4sotri 4662 . . . . . . 7 (((B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4634, 44, 45syl2anc 391 . . . . . 6 (φ → (B ·Q 𝑈) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4715, 46eqbrtrrd 3776 . . . . 5 (φ → (𝑈 ·Q B) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4812, 47eqbrtrrd 3776 . . . 4 (φ → ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49 mulclnq 6353 . . . . . 6 ((𝑈 Q A Q) → (𝑈 ·Q A) Q)
507, 8, 49syl2anc 391 . . . . 5 (φ → (𝑈 ·Q A) Q)
51 mulclnq 6353 . . . . . 6 ((𝑈 Q 𝑋 Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) Q)
527, 9, 51syl2anc 391 . . . . 5 (φ → (𝑈 ·Q 𝑋) Q)
53 addcomnqg 6358 . . . . 5 (((𝑈 ·Q A) Q (𝑈 ·Q 𝑋) Q) → ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q A)))
5450, 52, 53syl2anc 391 . . . 4 (φ → ((𝑈 ·Q A) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q A)))
55 addcomnqg 6358 . . . . 5 (((B ·Q 𝐷) Q (𝑈 ·Q 𝑋) Q) → ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (B ·Q 𝐷)))
5629, 52, 55syl2anc 391 . . . 4 (φ → ((B ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (B ·Q 𝐷)))
5748, 54, 563brtr3d 3783 . . 3 (φ → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q A)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (B ·Q 𝐷)))
58 ltanqg 6377 . . . 4 (((𝑈 ·Q A) Q (B ·Q 𝐷) Q (𝑈 ·Q 𝑋) Q) → ((𝑈 ·Q A) <Q (B ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q A)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (B ·Q 𝐷))))
5950, 29, 52, 58syl3anc 1134 . . 3 (φ → ((𝑈 ·Q A) <Q (B ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q A)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (B ·Q 𝐷))))
6057, 59mpbird 156 . 2 (φ → (𝑈 ·Q A) <Q (B ·Q 𝐷))
61 mulcomnqg 6360 . . 3 ((B Q 𝐷 Q) → (B ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q B))
6213, 19, 61syl2anc 391 . 2 (φ → (B ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q B))
6360, 62breqtrd 3778 1 (φ → (𝑈 ·Q A) <Q (𝐷 ·Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  Qcnq 6257   +Q cplq 6259   ·Q cmq 6260   <Q cltq 6262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-ltnqqs 6330
This theorem is referenced by:  prmuloc  6537
  Copyright terms: Public domain W3C validator