ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmuloclemcalc Unicode version

Theorem prmuloclemcalc 6546
Description: Calculations for prmuloc 6547. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru  R  <Q  U
prmuloclemcalc.udp  U  <Q  D  +Q  P
prmuloclemcalc.axb  +Q  X
prmuloclemcalc.pbrx  P  .Q  <Q  R  .Q  X
prmuloclemcalc.a  Q.
prmuloclemcalc.b  Q.
prmuloclemcalc.d  D  Q.
prmuloclemcalc.p  P  Q.
prmuloclemcalc.x  X  Q.
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc  U  .Q  <Q  D  .Q

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7  +Q  X
21oveq2d 5471 . . . . . 6  U  .Q  +Q  X  U  .Q
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9  R  <Q  U
4 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . 10  <Q  C_  Q.  X.  Q.
54brel 4335 . . . . . . . . 9  R 
<Q  U  R  Q.  U  Q.
63, 5syl 14 . . . . . . . 8  R  Q.  U  Q.
76simprd 107 . . . . . . 7  U  Q.
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7  Q.
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7  X  Q.
10 distrnqg 6371 . . . . . . 7  U  Q.  Q.  X  Q.  U  .Q  +Q  X  U  .Q  +Q  U  .Q  X
117, 8, 9, 10syl3anc 1134 . . . . . 6  U  .Q  +Q  X  U  .Q  +Q  U  .Q  X
122, 11eqtr3d 2071 . . . . 5  U  .Q  U  .Q  +Q  U  .Q  X
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7  Q.
14 mulcomnqg 6367 . . . . . . 7  Q.  U  Q.  .Q  U  U  .Q
1513, 7, 14syl2anc 391 . . . . . 6  .Q  U  U  .Q
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10  U  <Q  D  +Q  P
17 ltmnqi 6387 . . . . . . . . . 10  U  <Q  D  +Q  P  Q.  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  P
1816, 13, 17syl2anc 391 . . . . . . . . 9  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  P
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10  D  Q.
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10  P  Q.
21 distrnqg 6371 . . . . . . . . . 10  Q.  D  Q.  P  Q.  .Q  D  +Q  P  .Q  D  +Q  .Q  P
2213, 19, 20, 21syl3anc 1134 . . . . . . . . 9  .Q  D  +Q  P  .Q  D  +Q  .Q  P
2318, 22breqtrd 3779 . . . . . . . 8  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  .Q  P
24 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . 11  P  Q.  Q.  P  .Q  .Q  P
2520, 13, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  P  .Q  .Q  P
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10  P  .Q  <Q  R  .Q  X
2725, 26eqbrtrrd 3777 . . . . . . . . 9  .Q  P  <Q  R  .Q  X
28 mulclnq 6360 . . . . . . . . . 10  Q.  D  Q.  .Q  D  Q.
2913, 19, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9  .Q  D  Q.
30 ltanqi 6386 . . . . . . . . 9  .Q  P  <Q  R  .Q  X  .Q  D 
Q.  .Q  D  +Q  .Q  P  <Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X
3127, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . . 8  .Q  D  +Q  .Q  P 
<Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X
32 ltsonq 6382 . . . . . . . . 9  <Q  Or  Q.
3332, 4sotri 4663 . . . . . . . 8  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  .Q  P  .Q  D  +Q  .Q  P  <Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X
3423, 31, 33syl2anc 391 . . . . . . 7  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X
35 ltmnqi 6387 . . . . . . . . . 10  R  <Q  U  X  Q.  X  .Q  R  <Q  X  .Q  U
363, 9, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9  X  .Q  R  <Q  X  .Q  U
376simpld 105 . . . . . . . . . 10  R  Q.
38 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . 10  X  Q.  R  Q.  X  .Q  R  R  .Q  X
399, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . 9  X  .Q  R  R  .Q  X
40 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . 10  X  Q.  U  Q.  X  .Q  U  U  .Q  X
419, 7, 40syl2anc 391 . . . . . . . . 9  X  .Q  U  U  .Q  X
4236, 39, 413brtr3d 3784 . . . . . . . 8  R  .Q  X  <Q  U  .Q  X
43 ltanqi 6386 . . . . . . . 8  R  .Q  X  <Q  U  .Q  X  .Q  D 
Q.  .Q  D  +Q  R  .Q  X  <Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
4442, 29, 43syl2anc 391 . . . . . . 7  .Q  D  +Q  R  .Q  X 
<Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
4532, 4sotri 4663 . . . . . . 7  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  R  .Q  X  .Q  D  +Q  R  .Q  X  <Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
4634, 44, 45syl2anc 391 . . . . . 6  .Q  U  <Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
4715, 46eqbrtrrd 3777 . . . . 5  U  .Q  <Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
4812, 47eqbrtrrd 3777 . . . 4  U  .Q  +Q  U  .Q  X 
<Q  .Q  D  +Q  U  .Q  X
49 mulclnq 6360 . . . . . 6  U  Q.  Q.  U  .Q  Q.
507, 8, 49syl2anc 391 . . . . 5  U  .Q  Q.
51 mulclnq 6360 . . . . . 6  U  Q.  X  Q.  U  .Q  X  Q.
527, 9, 51syl2anc 391 . . . . 5  U  .Q  X  Q.
53 addcomnqg 6365 . . . . 5  U  .Q  Q.  U  .Q  X 
Q.  U  .Q  +Q  U  .Q  X  U  .Q  X  +Q  U  .Q
5450, 52, 53syl2anc 391 . . . 4  U  .Q  +Q  U  .Q  X  U  .Q  X  +Q  U  .Q
55 addcomnqg 6365 . . . . 5  .Q  D  Q.  U  .Q  X 
Q.  .Q  D  +Q  U  .Q  X  U  .Q  X  +Q  .Q  D
5629, 52, 55syl2anc 391 . . . 4  .Q  D  +Q  U  .Q  X  U  .Q  X  +Q  .Q  D
5748, 54, 563brtr3d 3784 . . 3  U  .Q  X  +Q  U  .Q 
<Q  U  .Q  X  +Q  .Q  D
58 ltanqg 6384 . . . 4  U  .Q  Q.  .Q  D 
Q.  U  .Q  X  Q.  U  .Q  <Q  .Q  D  U  .Q  X  +Q  U  .Q 
<Q  U  .Q  X  +Q  .Q  D
5950, 29, 52, 58syl3anc 1134 . . 3  U  .Q  <Q  .Q  D  U  .Q  X  +Q  U  .Q  <Q  U  .Q  X  +Q  .Q  D
6057, 59mpbird 156 . 2  U  .Q  <Q  .Q  D
61 mulcomnqg 6367 . . 3  Q.  D  Q.  .Q  D  D  .Q
6213, 19, 61syl2anc 391 . 2  .Q  D  D  .Q
6360, 62breqtrd 3779 1  U  .Q  <Q  D  .Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    .Q cmq 6267    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  prmuloc  6547
  Copyright terms: Public domain W3C validator