ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sotri Structured version   GIF version

Theorem sotri 4663
Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
soi.1 𝑅 Or 𝑆
soi.2 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
Assertion
Ref Expression
sotri ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri
StepHypRef Expression
1 soi.2 . . . . 5 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
21brel 4335 . . . 4 (A𝑅B → (A 𝑆 B 𝑆))
32simpld 105 . . 3 (A𝑅BA 𝑆)
41brel 4335 . . 3 (B𝑅𝐶 → (B 𝑆 𝐶 𝑆))
53, 4anim12i 321 . 2 ((A𝑅B B𝑅𝐶) → (A 𝑆 (B 𝑆 𝐶 𝑆)))
6 soi.1 . . . 4 𝑅 Or 𝑆
7 sotr 4046 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑆 (A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆)) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
86, 7mpan 400 . . 3 ((A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
983expb 1104 . 2 ((A 𝑆 (B 𝑆 𝐶 𝑆)) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
105, 9mpcom 32 1 ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3755   Or wor 4023   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  son2lpi  4664  ltsonq  6382  lt2addnq  6388  ltbtwnnqq  6398  prarloclemarch2  6402  genplt2i  6492  addlocprlemgt  6516  nqprloc  6527  prmuloclemcalc  6545  ltsopr  6569  ltexprlemopl  6574  ltexprlemopu  6576  ltexprlemru  6585  recexprlemlol  6597  recexprlemupu  6599  recexprlemdisj  6601  recexprlemss1l  6606  recexprlemss1u  6607  cauappcvgprlemopl  6617  cauappcvgprlemlol  6618  cauappcvgprlemupu  6620  cauappcvgprlemladdfu  6625  lttrsr  6670  addgt0sr  6683  archsr  6688  axpre-lttrn  6748
  Copyright terms: Public domain W3C validator