ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sotri Structured version   GIF version

Theorem sotri 4662
Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
soi.1 𝑅 Or 𝑆
soi.2 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
Assertion
Ref Expression
sotri ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri
StepHypRef Expression
1 soi.2 . . . . 5 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
21brel 4334 . . . 4 (A𝑅B → (A 𝑆 B 𝑆))
32simpld 105 . . 3 (A𝑅BA 𝑆)
41brel 4334 . . 3 (B𝑅𝐶 → (B 𝑆 𝐶 𝑆))
53, 4anim12i 321 . 2 ((A𝑅B B𝑅𝐶) → (A 𝑆 (B 𝑆 𝐶 𝑆)))
6 soi.1 . . . 4 𝑅 Or 𝑆
7 sotr 4045 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑆 (A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆)) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
86, 7mpan 400 . . 3 ((A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
983expb 1104 . 2 ((A 𝑆 (B 𝑆 𝐶 𝑆)) → ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶))
105, 9mpcom 32 1 ((A𝑅B B𝑅𝐶) → A𝑅𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3754   Or wor 4022   × cxp 4285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-po 4023  df-iso 4024  df-xp 4293
This theorem is referenced by:  son2lpi  4663  ltsonq  6375  lt2addnq  6381  ltbtwnnqq  6391  prarloclemarch2  6395  genplt2i  6485  addlocprlemgt  6510  nqprloc  6521  prmuloclemcalc  6536  ltsopr  6560  ltexprlemopl  6565  ltexprlemopu  6567  ltexprlemru  6576  recexprlemlol  6588  recexprlemupu  6590  recexprlemdisj  6592  recexprlemss1l  6597  recexprlemss1u  6598  lttrsr  6642  addgt0sr  6655  archsr  6660  axpre-lttrn  6720
  Copyright terms: Public domain W3C validator