ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg Structured version   GIF version

Theorem ltanqg 6245
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6193 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3730 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3 oveq2 5432 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A))
43breq1d 3737 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
52, 4bibi12d 224 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ))))
6 breq2 3731 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q B))
7 oveq2 5432 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B))
87breq2d 3739 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B)))
96, 8bibi12d 224 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B))))
10 oveq1 5431 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) = (𝐶 +Q A))
11 oveq1 5431 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B) = (𝐶 +Q B))
1210, 11breq12d 3740 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B) ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
1312bibi2d 221 . 2 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ((A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B)) ↔ (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B))))
14 addclpi 6173 . . . . . 6 ((f N g N) → (f +N g) N)
1514adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f +N g) N)
16 simp3l 914 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
17 simp1r 911 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
18 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((v N y N) → (v ·N y) N)
1916, 17, 18syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N y) N)
20 simp3r 915 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
21 simp1l 910 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
22 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((u N x N) → (u ·N x) N)
2320, 21, 22syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N x) N)
2415, 19, 23caovcld 5565 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N y) +N (u ·N x)) N)
25 mulclpi 6174 . . . . 5 ((u N y N) → (u ·N y) N)
2620, 17, 25syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N y) N)
27 mulclpi 6174 . . . . . . 7 ((f N g N) → (f ·N g) N)
2827adantl 262 . . . . . 6 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
29 simp2r 913 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
3028, 16, 29caovcld 5565 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N w) N)
31 simp2l 912 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
32 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((u N z N) → (u ·N z) N)
3320, 31, 32syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N z) N)
3415, 30, 33caovcld 5565 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N w) +N (u ·N z)) N)
35 mulclpi 6174 . . . . 5 ((u N w N) → (u ·N w) N)
3620, 29, 35syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N w) N)
37 ordpipqqs 6219 . . . 4 (((((v ·N y) +N (u ·N x)) N (u ·N y) N) (((v ·N w) +N (u ·N z)) N (u ·N w) N)) → ([⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1117 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
39 simp3 888 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v N u N))
40 simp1 886 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x N y N))
41 addpipqqs 6215 . . . . 5 (((v N u N) (x N y N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q )
43 simp2 887 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (z N w N))
44 addpipqqs 6215 . . . . 5 (((v N u N) (z N w N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q )
4642, 45breq12d 3740 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ))
47 ordpipqqs 6219 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
48473adant3 906 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
49 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((x N w N) → (x ·N w) N)
5021, 29, 49syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N w) N)
51 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((y N z N) → (y ·N z) N)
5217, 31, 51syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N z) N)
53 mulclpi 6174 . . . . . 6 ((u N u N) → (u ·N u) N)
5420, 20, 53syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N u) N)
55 ltmpig 6185 . . . . 5 (((x ·N w) N (y ·N z) N (u ·N u) N) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1116 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z))))
57 mulclpi 6174 . . . . . . 7 (((u ·N x) N (u ·N w) N) → ((u ·N x) ·N (u ·N w)) N)
5823, 36, 57syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N x) ·N (u ·N w)) N)
59 mulclpi 6174 . . . . . . 7 (((u ·N y) N (u ·N z) N) → ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N)
6026, 33, 59syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N)
61 mulclpi 6174 . . . . . . 7 (((v ·N y) N (u ·N w) N) → ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N)
6219, 36, 61syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N)
63 ltapig 6184 . . . . . 6 ((((u ·N x) ·N (u ·N w)) N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N) → (((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1116 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
65 mulcompig 6177 . . . . . . . 8 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
6665adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
67 mulasspig 6178 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6867adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 5596 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N u) ·N (x ·N w)) = ((u ·N x) ·N (u ·N w)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 5596 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N u) ·N (y ·N z)) = ((u ·N y) ·N (u ·N z)))
7169, 70breq12d 3740 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z)) ↔ ((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
72 distrpig 6179 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → (f ·N (g +N )) = ((f ·N g) +N (f ·N )))
7372adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → (f ·N (g +N )) = ((f ·N g) +N (f ·N )))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 5588 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))))
7573, 26, 30, 33caovdid 5587 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) = (((u ·N y) ·N (v ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 5597 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N w)) = ((v ·N y) ·N (u ·N w)))
7776oveq1d 5439 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N y) ·N (v ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7875, 77eqtrd 2045 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7974, 78breq12d 3740 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
8064, 71, 793bitr4d 209 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z)) ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
8148, 56, 803bitrd 203 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
8238, 46, 813bitr4rd 210 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6094 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  [cec 6003  Ncnpi 6118   +N cpli 6119   ·N cmi 6120   <N clti 6121   ~Q ceq 6125  Qcnq 6126   +Q cplq 6128   <Q cltq 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-ltnqqs 6198
This theorem is referenced by:  ltanqi  6247  lt2addnq  6249  ltaddnq  6251  ltbtwnnqq  6258  prarloclemlt  6333  prarloclemcalc  6342  addlocprlemgt  6375  addclpr  6378  prmuloclemcalc  6395  distrlem4prl  6409  distrlem4pru  6410  ltexprlemopl  6424  ltexprlemopu  6426  ltexprlemdisj  6429  ltexprlemloc  6430  ltexprlemfl  6432  ltexprlemfu  6434  aptiprleml  6460  aptiprlemu  6461
  Copyright terms: Public domain W3C validator