ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg Structured version   GIF version

Theorem ltanqg 6384
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3758 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A))
43breq1d 3765 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
52, 4bibi12d 224 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ))))
6 breq2 3759 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q B))
7 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B))
87breq2d 3767 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B)))
96, 8bibi12d 224 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B))))
10 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) = (𝐶 +Q A))
11 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B) = (𝐶 +Q B))
1210, 11breq12d 3768 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B) ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
1312bibi2d 221 . 2 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ((A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q B)) ↔ (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B))))
14 addclpi 6311 . . . . . 6 ((f N g N) → (f +N g) N)
1514adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f +N g) N)
16 simp3l 931 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
17 simp1r 928 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
18 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((v N y N) → (v ·N y) N)
1916, 17, 18syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N y) N)
20 simp3r 932 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
21 simp1l 927 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
22 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((u N x N) → (u ·N x) N)
2320, 21, 22syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N x) N)
2415, 19, 23caovcld 5596 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N y) +N (u ·N x)) N)
25 mulclpi 6312 . . . . 5 ((u N y N) → (u ·N y) N)
2620, 17, 25syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N y) N)
27 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((f N g N) → (f ·N g) N)
2827adantl 262 . . . . . 6 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
29 simp2r 930 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
3028, 16, 29caovcld 5596 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N w) N)
31 simp2l 929 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
32 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((u N z N) → (u ·N z) N)
3320, 31, 32syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N z) N)
3415, 30, 33caovcld 5596 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N w) +N (u ·N z)) N)
35 mulclpi 6312 . . . . 5 ((u N w N) → (u ·N w) N)
3620, 29, 35syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N w) N)
37 ordpipqqs 6358 . . . 4 (((((v ·N y) +N (u ·N x)) N (u ·N y) N) (((v ·N w) +N (u ·N z)) N (u ·N w) N)) → ([⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1135 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
39 simp3 905 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v N u N))
40 simp1 903 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x N y N))
41 addpipqqs 6354 . . . . 5 (((v N u N) (x N y N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q )
43 simp2 904 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (z N w N))
44 addpipqqs 6354 . . . . 5 (((v N u N) (z N w N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q )
4642, 45breq12d 3768 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ [⟨((v ·N y) +N (u ·N x)), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨((v ·N w) +N (u ·N z)), (u ·N w)⟩] ~Q ))
47 ordpipqqs 6358 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
48473adant3 923 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
49 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((x N w N) → (x ·N w) N)
5021, 29, 49syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N w) N)
51 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((y N z N) → (y ·N z) N)
5217, 31, 51syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N z) N)
53 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((u N u N) → (u ·N u) N)
5420, 20, 53syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N u) N)
55 ltmpig 6323 . . . . 5 (((x ·N w) N (y ·N z) N (u ·N u) N) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1134 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z))))
57 mulclpi 6312 . . . . . . 7 (((u ·N x) N (u ·N w) N) → ((u ·N x) ·N (u ·N w)) N)
5823, 36, 57syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N x) ·N (u ·N w)) N)
59 mulclpi 6312 . . . . . . 7 (((u ·N y) N (u ·N z) N) → ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N)
6026, 33, 59syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N)
61 mulclpi 6312 . . . . . . 7 (((v ·N y) N (u ·N w) N) → ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N)
6219, 36, 61syl2anc 391 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N)
63 ltapig 6322 . . . . . 6 ((((u ·N x) ·N (u ·N w)) N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) N ((v ·N y) ·N (u ·N w)) N) → (((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1134 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z)) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
65 mulcompig 6315 . . . . . . . 8 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
6665adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
67 mulasspig 6316 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6867adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 5627 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N u) ·N (x ·N w)) = ((u ·N x) ·N (u ·N w)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 5627 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N u) ·N (y ·N z)) = ((u ·N y) ·N (u ·N z)))
7169, 70breq12d 3768 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z)) ↔ ((u ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
72 distrpig 6317 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → (f ·N (g +N )) = ((f ·N g) +N (f ·N )))
7372adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → (f ·N (g +N )) = ((f ·N g) +N (f ·N )))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 5619 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))))
7573, 26, 30, 33caovdid 5618 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) = (((u ·N y) ·N (v ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 5628 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N w)) = ((v ·N y) ·N (u ·N w)))
7776oveq1d 5470 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N y) ·N (v ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7875, 77eqtrd 2069 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) = (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z))))
7974, 78breq12d 3768 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z))) ↔ (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N x) ·N (u ·N w))) <N (((v ·N y) ·N (u ·N w)) +N ((u ·N y) ·N (u ·N z)))))
8064, 71, 793bitr4d 209 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((u ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((u ·N u) ·N (y ·N z)) ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
8148, 56, 803bitrd 203 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (((v ·N y) +N (u ·N x)) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N ((v ·N w) +N (u ·N z)))))
8238, 46, 813bitr4rd 210 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6131 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltanqi  6386  lt2addnq  6388  ltaddnq  6390  prarloclemlt  6475  prarloclemcalc  6484  addlocprlemgt  6516  addclpr  6519  prmuloclemcalc  6545  distrlem4prl  6559  distrlem4pru  6560  ltexprlemopl  6574  ltexprlemopu  6576  ltexprlemdisj  6579  ltexprlemloc  6580  ltexprlemfl  6582  ltexprlemfu  6584  aptiprleml  6610  aptiprlemu  6611  cauappcvgprlemopl  6617  cauappcvgprlemlol  6618  cauappcvgprlemdisj  6622  cauappcvgprlemloc  6623  cauappcvgprlemladdfu  6625  cauappcvgprlemladdru  6627  cauappcvgprlemladdrl  6628  cauappcvgprlem1  6630
  Copyright terms: Public domain W3C validator