Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig Structured version   GIF version

Theorem distrpig 6187
 Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6163 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6163 . . 3 (B NB 𝜔)
3 pinn 6163 . . 3 (𝐶 N𝐶 𝜔)
4 nndi 5976 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1161 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6181 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) N)
7 mulpiord 6171 . . . . 5 ((A N (B +N 𝐶) N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
86, 7sylan2 270 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
9 addpiord 6170 . . . . . 6 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) = (B +𝑜 𝐶))
109oveq2d 5448 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
1110adantl 262 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
128, 11eqtrd 2050 . . 3 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
13123impb 1084 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
14 mulclpi 6182 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) N)
15 mulclpi 6182 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) N)
16 addpiord 6170 . . . . 5 (((A ·N B) N (A ·N 𝐶) N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 273 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
18 mulpiord 6171 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
19 mulpiord 6171 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) = (A ·𝑜 𝐶))
2018, 19oveqan12d 5451 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2050 . . 3 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
22213impdi 1174 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2060 1 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 871   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  𝜔com 4236  (class class class)co 5432   +𝑜 coa 5909   ·𝑜 comu 5910  Ncnpi 6126   +N cpli 6127   ·N cmi 6128 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160 This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6220  addassnqg  6235  distrnqg  6240  ltanqg  6253  ltexnqq  6260
 Copyright terms: Public domain W3C validator