ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig Structured version   GIF version

Theorem distrpig 6182
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6158 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6158 . . 3 (B NB 𝜔)
3 pinn 6158 . . 3 (𝐶 N𝐶 𝜔)
4 nndi 5971 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1160 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6176 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) N)
7 mulpiord 6166 . . . . 5 ((A N (B +N 𝐶) N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
86, 7sylan2 270 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
9 addpiord 6165 . . . . . 6 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) = (B +𝑜 𝐶))
109oveq2d 5443 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
1110adantl 262 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
128, 11eqtrd 2048 . . 3 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
13123impb 1083 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
14 mulclpi 6177 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) N)
15 mulclpi 6177 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) N)
16 addpiord 6165 . . . . 5 (((A ·N B) N (A ·N 𝐶) N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 273 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
18 mulpiord 6166 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
19 mulpiord 6166 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) = (A ·𝑜 𝐶))
2018, 19oveqan12d 5446 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2048 . . 3 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
22213impdi 1173 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2058 1 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 869   = wceq 1226   wcel 1369  𝜔com 4231  (class class class)co 5427   +𝑜 coa 5904   ·𝑜 comu 5905  Ncnpi 6121   +N cpli 6122   ·N cmi 6123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-id 3996  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6215  addassnqg  6230  distrnqg  6235  ltanqg  6248  ltexnqq  6255
  Copyright terms: Public domain W3C validator