ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig GIF version

Theorem distrpig 6321
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6297 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6297 . . 3 (B NB 𝜔)
3 pinn 6297 . . 3 (𝐶 N𝐶 𝜔)
4 nndi 6008 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1177 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6315 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) N)
7 mulpiord 6305 . . . . 5 ((A N (B +N 𝐶) N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
86, 7sylan2 270 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +N 𝐶)))
9 addpiord 6304 . . . . . 6 ((B N 𝐶 N) → (B +N 𝐶) = (B +𝑜 𝐶))
109oveq2d 5474 . . . . 5 ((B N 𝐶 N) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
1110adantl 262 . . . 4 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·𝑜 (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
128, 11eqtrd 2072 . . 3 ((A N (B N 𝐶 N)) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
13123impb 1100 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = (A ·𝑜 (B +𝑜 𝐶)))
14 mulclpi 6316 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) N)
15 mulclpi 6316 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) N)
16 addpiord 6304 . . . . 5 (((A ·N B) N (A ·N 𝐶) N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 273 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)))
18 mulpiord 6305 . . . . 5 ((A N B N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
19 mulpiord 6305 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) = (A ·𝑜 𝐶))
2018, 19oveqan12d 5477 . . . 4 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +𝑜 (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2072 . . 3 (((A N B N) (A N 𝐶 N)) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
22213impdi 1190 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)) = ((A ·𝑜 B) +𝑜 (A ·𝑜 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2082 1 ((A N B N 𝐶 N) → (A ·N (B +N 𝐶)) = ((A ·N B) +N (A ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 885   = wceq 1243   wcel 1393  𝜔com 4259  (class class class)co 5458   +𝑜 coa 5941   ·𝑜 comu 5942  Ncnpi 6260   +N cpli 6261   ·N cmi 6262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-id 4024  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6355  addassnqg  6370  distrnqg  6375  ltanqg  6388  ltexnqq  6396
  Copyright terms: Public domain W3C validator