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Theorem cauappcvgprlemloc 6623
 Description: Lemma for cauappcvgpr 6633. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (φ𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc (φ𝑠 Q 𝑟 Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿))))
Distinct variable groups:   A,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   φ,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   A,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,u,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   φ,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   φ(u,𝑙)   A(u,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(u,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6392 . . . . 5 (𝑠 <Q 𝑟y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)
21adantl 262 . . . 4 (((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) → y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)
3 subhalfnqq 6397 . . . . . 6 (y Qx Q (x +Q x) <Q y)
43ad2antrl 459 . . . . 5 ((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) → x Q (x +Q x) <Q y)
5 simprr 484 . . . . . . . . 9 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (x +Q x) <Q y)
6 simplrl 487 . . . . . . . . . . 11 (((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑠 Q)
76adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) → 𝑠 Q)
87adantr 261 . . . . . . . . 9 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → 𝑠 Q)
9 ltanqi 6386 . . . . . . . . 9 (((x +Q x) <Q y 𝑠 Q) → (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q (𝑠 +Q y))
105, 8, 9syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q (𝑠 +Q y))
11 simplrr 488 . . . . . . . 8 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝑠 +Q y) = 𝑟)
1210, 11breqtrd 3779 . . . . . . 7 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q 𝑟)
13 simprl 483 . . . . . . . . . 10 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → x Q)
14 addclnq 6359 . . . . . . . . . 10 ((x Q x Q) → (x +Q x) Q)
1513, 13, 14syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (x +Q x) Q)
16 addclnq 6359 . . . . . . . . 9 ((𝑠 Q (x +Q x) Q) → (𝑠 +Q (x +Q x)) Q)
178, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝑠 +Q (x +Q x)) Q)
18 simplrr 488 . . . . . . . . . 10 (((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑟 Q)
1918adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) → 𝑟 Q)
2019adantr 261 . . . . . . . 8 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → 𝑟 Q)
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 (φ𝐹:QQ)
2221ad4antr 463 . . . . . . . . . 10 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → 𝐹:QQ)
2322, 13ffvelrnd 5246 . . . . . . . . 9 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝐹x) Q)
24 addclnq 6359 . . . . . . . . 9 (((𝐹x) Q x Q) → ((𝐹x) +Q x) Q)
2523, 13, 24syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → ((𝐹x) +Q x) Q)
26 ltsonq 6382 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
27 sowlin 4048 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q ((𝑠 +Q (x +Q x)) Q 𝑟 Q ((𝐹x) +Q x) Q)) → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟)))
2826, 27mpan 400 . . . . . . . 8 (((𝑠 +Q (x +Q x)) Q 𝑟 Q ((𝐹x) +Q x) Q) → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟)))
2917, 20, 25, 28syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟)))
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟))
318adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → 𝑠 Q)
32 simplrl 487 . . . . . . . . . 10 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → x Q)
33 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x))
34 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 Q x Q x Q) → ((𝑠 +Q x) +Q x) = (𝑠 +Q (x +Q x)))
3531, 32, 32, 34syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → ((𝑠 +Q x) +Q x) = (𝑠 +Q (x +Q x)))
3635breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → (((𝑠 +Q x) +Q x) <Q ((𝐹x) +Q x) ↔ (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)))
3733, 36mpbird 156 . . . . . . . . . . 11 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → ((𝑠 +Q x) +Q x) <Q ((𝐹x) +Q x))
38 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
3938adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
40 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 Q x Q) → (𝑠 +Q x) Q)
4131, 32, 40syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → (𝑠 +Q x) Q)
4223adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → (𝐹x) Q)
43 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
4443adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5612 . . . . . . . . . . 11 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → ((𝑠 +Q x) <Q (𝐹x) ↔ ((𝑠 +Q x) +Q x) <Q ((𝐹x) +Q x)))
4637, 45mpbird 156 . . . . . . . . . 10 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → (𝑠 +Q x) <Q (𝐹x))
47 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = x → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q x))
48 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = x → (𝐹𝑞) = (𝐹x))
4947, 48breq12d 3768 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = x → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q x) <Q (𝐹x)))
5049rspcev 2650 . . . . . . . . . 10 ((x Q (𝑠 +Q x) <Q (𝐹x)) → 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
5132, 46, 50syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
52 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
5352breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5453rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑠 → (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
5655fveq2i 5124 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩)
57 nqex 6347 . . . . . . . . . . . . 13 Q V
5857rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} V
5957rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12 {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u} V
6058, 59op1st 5715 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩) = {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6156, 60eqtri 2057 . . . . . . . . . 10 (1st𝐿) = {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6254, 61elrab2 2694 . . . . . . . . 9 (𝑠 (1st𝐿) ↔ (𝑠 Q 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
6331, 51, 62sylanbrc 394 . . . . . . . 8 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) (𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x)) → 𝑠 (1st𝐿))
6463ex 108 . . . . . . 7 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → ((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) → 𝑠 (1st𝐿)))
6520adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟) → 𝑟 Q)
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = x𝑞 = x)
6748, 66oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = x → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹x) +Q x))
6867breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = x → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟))
6968rspcev 2650 . . . . . . . . . 10 ((x Q ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟) → 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
7013, 69sylan 267 . . . . . . . . 9 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟) → 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
71 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7271rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10 (u = 𝑟 → (𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7355fveq2i 5124 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩)
7458, 59op2nd 5716 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩) = {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}
7573, 74eqtri 2057 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}
7672, 75elrab2 2694 . . . . . . . . 9 (𝑟 (2nd𝐿) ↔ (𝑟 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7765, 70, 76sylanbrc 394 . . . . . . . 8 ((((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟) → 𝑟 (2nd𝐿))
7877ex 108 . . . . . . 7 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟𝑟 (2nd𝐿)))
7964, 78orim12d 699 . . . . . 6 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (((𝑠 +Q (x +Q x)) <Q ((𝐹x) +Q x) ((𝐹x) +Q x) <Q 𝑟) → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿))))
8030, 79mpd 13 . . . . 5 (((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) (x Q (x +Q x) <Q y)) → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿)))
814, 80rexlimddv 2431 . . . 4 ((((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) (y Q (𝑠 +Q y) = 𝑟)) → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿)))
822, 81rexlimddv 2431 . . 3 (((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿)))
8382ex 108 . 2 ((φ (𝑠 Q 𝑟 Q)) → (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿))))
8483ralrimivva 2395 1 (φ𝑠 Q 𝑟 Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 (1st𝐿) 𝑟 (2nd𝐿))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  {crab 2304  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   Or wor 4023  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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