ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   GIF version

Theorem addclnq 6359
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((A Q B Q) → (A +Q B) Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
32eleq1d 2103 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ((N × N) / ~Q ) ↔ (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ((N × N) / ~Q )))
4 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = (A +Q B))
54eleq1d 2103 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ((N × N) / ~Q ) ↔ (A +Q B) ((N × N) / ~Q )))
6 addpipqqs 6354 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
7 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((x N w N) → (x ·N w) N)
8 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((y N z N) → (y ·N z) N)
9 addclpi 6311 . . . . . . . 8 (((x ·N w) N (y ·N z) N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
107, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 (((x N w N) (y N z N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
1110an42s 523 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
12 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((y N w N) → (y ·N w) N)
1312ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N w) N)
1411, 13jca 290 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N))
15 opelxpi 4319 . . . . 5 ((((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N) → ⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩ (N × N))
16 enqex 6344 . . . . . 6 ~Q V
1716ecelqsi 6096 . . . . 5 (⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩ (N × N) → [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2111 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ((N × N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6130 . 2 ((A Q B Q) → (A +Q B) ((N × N) / ~Q ))
2120, 1syl6eleqr 2128 1 ((A Q B Q) → (A +Q B) Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6390  halfnqq  6393  ltbtwnnqq  6398  prarloclemcalc  6484  addnqprl  6511  addnqpru  6512  addlocprlemeqgt  6514  addlocprlemgt  6516  addlocprlem  6517  addclpr  6519  plpvlu  6520  dmplp  6522  addnqprlemrl  6537  addnqprlemru  6538  addnqprlemfl  6539  addnqprlemfu  6540  addnqpr  6541  addassprg  6554  distrlem1prl  6557  distrlem1pru  6558  distrlem4prl  6559  distrlem4pru  6560  distrlem5prl  6561  distrlem5pru  6562  ltaddpr  6570  ltexprlemloc  6580  ltexprlemfl  6582  ltexprlemrl  6583  ltexprlemfu  6584  ltexprlemru  6585  addcanprleml  6587  addcanprlemu  6588  recexprlemm  6595  aptiprleml  6610  aptiprlemu  6611  cauappcvgprlemcan  6615  cauappcvgprlemm  6616  cauappcvgprlemdisj  6622  cauappcvgprlemloc  6623  cauappcvgprlemladdfu  6625  cauappcvgprlemladdfl  6626  cauappcvgprlemladdru  6627  cauappcvgprlemladdrl  6628  cauappcvgprlem1  6630  cauappcvgprlem2  6631
  Copyright terms: Public domain W3C validator