Theorem addcomnqg 6358

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) = (B +Q A))

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6325	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 6347	. 2 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3		addpipqqs 6347	. 2 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N y) +N (w ·N x)), (w ·N y)⟩] ~Q )
4		mulcompig 6308	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ w ∈ N) → (x ·N w) = (w ·N x))
5		mulcompig 6308	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y ·N z) = (z ·N y))
6	4, 5	oveqan12d 5471	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) = ((w ·N x) +N (z ·N y)))
7	6	an42s 523	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) = ((w ·N x) +N (z ·N y)))
8		mulclpi 6305	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ N ∧ x ∈ N) → (w ·N x) ∈ N)
9	8	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ w ∈ N) → (w ·N x) ∈ N)
10	9	ad2ant2rl 480	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (w ·N x) ∈ N)
11		mulclpi 6305	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ y ∈ N) → (z ·N y) ∈ N)
12	11	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (z ·N y) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (z ·N y) ∈ N)
14		addcompig 6306	. . . 4 ⊢ (((w ·N x) ∈ N ∧ (z ·N y) ∈ N) → ((w ·N x) +N (z ·N y)) = ((z ·N y) +N (w ·N x)))
15	10, 13, 14	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((w ·N x) +N (z ·N y)) = ((z ·N y) +N (w ·N x)))
16	7, 15	eqtrd 2069	. 2 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) = ((z ·N y) +N (w ·N x)))
17		mulcompig 6308	. . 3 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) = (w ·N y))
18	17	ad2ant2l 477	. 2 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (y ·N w) = (w ·N y))
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6143	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) = (B +Q A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5452  Ncnpi 6249   +_N cpli 6250   ·_N cmi 6251   ~_Q ceq 6256  Qcnq 6257   +_Q cplq 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-plpq 6321  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326

This theorem is referenced by:  lt2addnq  6381  ltaddnq  6383  prarloclemarch2  6395  addlocprlemeqgt  6508  addlocprlemgt  6510  addclpr  6513  prmuloclemcalc  6536  addcomprg  6544  distrlem4prl  6550  distrlem4pru  6551  ltexprlemm  6564  ltexprlemdisj  6570  ltexprlemloc  6571  ltexprlemfl  6573  ltexprlemrl  6574  ltexprlemfu  6575  ltexprlemru  6576  addcanprleml  6578  addcanprlemu  6579  aptiprleml  6601  aptiprlemu  6602