Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg GIF version

 Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6446 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6468 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6468 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 6468 . 2 (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 6468 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
76ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
98ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10 addclpi 6425 . . . 4 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 477 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 290 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
1817ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19 addclpi 6425 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2221ad2ant2l 477 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2320, 22jca 290 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24 simp1l 928 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
25 simp2r 931 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
26 simp3r 933 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
2725, 26, 21syl2anc 391 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑥N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
2924, 27, 28syl2anc 391 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30 simp1r 929 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
31 simp2l 930 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
3231, 26, 15syl2anc 391 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35 simp3l 932 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
3625, 35, 17syl2anc 391 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37 mulclpi 6426 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
3830, 36, 37syl2anc 391 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39 addasspig 6428 . . . 4 (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1135 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41 mulcompig 6429 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
4241adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43 distrpig 6431 . . . . . . . 8 ((N𝑓N𝑔N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
44433coml 1111 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
45 addclpi 6425 . . . . . . . . . 10 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46 mulcompig 6429 . . . . . . . . . 10 ((N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4745, 46sylan2 270 . . . . . . . . 9 ((N ∧ (𝑓N𝑔N)) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4847ancoms 255 . . . . . . . 8 (((𝑓N𝑔N) ∧ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
49483impa 1099 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
50 mulcompig 6429 . . . . . . . . . 10 ((N𝑓N) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
5150ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((𝑓NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
52513adant2 923 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
53 mulcompig 6429 . . . . . . . . . 10 ((N𝑔N) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5453ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
55543adant1 922 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5652, 55oveq12d 5530 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2080 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5857adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
59 mulasspig 6430 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6059adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
61 mulclpi 6426 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6261adantl 262 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5692 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64 mulasspig 6430 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65643adant1l 1127 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66653adant2l 1129 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67663adant3r 1132 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
6863, 67oveq12d 5530 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69 distrpig 6431 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1135 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7170oveq2d 5528 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2082 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73 mulasspig 6430 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74733adant1l 1127 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75743adant2l 1129 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76753adant3l 1131 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6216 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  Ncnpi 6370   +N cpli 6371   ·N cmi 6372   ~Q ceq 6377  Qcnq 6378   +Q cplq 6380 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-plpq 6442  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447 This theorem is referenced by:  ltaddnq  6505  addlocprlemeqgt  6630  addassprg  6677  ltexprlemloc  6705  ltexprlemrl  6708  ltexprlemru  6710  addcanprleml  6712  addcanprlemu  6713  cauappcvgprlemdisj  6749  cauappcvgprlemloc  6750  cauappcvgprlemladdfl  6753  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  cauappcvgprlem1  6757  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprprlemloccalc  6782
 Copyright terms: Public domain W3C validator