ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg Structured version   GIF version

Theorem addassnqg 6366
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6354 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6354 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 6354 . 2 (((((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N) (v N u N)) → ([⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 6354 . 2 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6312 . . . . 5 ((x N w N) → (x ·N w) N)
76ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (x ·N w) N)
8 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N z N) → (y ·N z) N)
98ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N z) N)
10 addclpi 6311 . . . 4 (((x ·N w) N (y ·N z) N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
12 mulclpi 6312 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
1312ad2ant2l 477 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N w) N)
1411, 13jca 290 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N))
15 mulclpi 6312 . . . . 5 ((z N u N) → (z ·N u) N)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
17 mulclpi 6312 . . . . 5 ((w N v N) → (w ·N v) N)
1817ad2ant2lr 479 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
19 addclpi 6311 . . . 4 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
21 mulclpi 6312 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2221ad2ant2l 477 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
2320, 22jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N))
24 simp1l 927 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
25 simp2r 930 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
26 simp3r 932 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
2725, 26, 21syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
28 mulclpi 6312 . . . . 5 ((x N (w ·N u) N) → (x ·N (w ·N u)) N)
2924, 27, 28syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N (w ·N u)) N)
30 simp1r 928 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
31 simp2l 929 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
3231, 26, 15syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
33 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N) → (y ·N (z ·N u)) N)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (z ·N u)) N)
35 simp3l 931 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
3625, 35, 17syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
37 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N (w ·N v) N) → (y ·N (w ·N v)) N)
3830, 36, 37syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (w ·N v)) N)
39 addasspig 6314 . . . 4 (((x ·N (w ·N u)) N (y ·N (z ·N u)) N (y ·N (w ·N v)) N) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1134 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
41 mulcompig 6315 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
4241adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
43 distrpig 6317 . . . . . . . 8 (( N f N g N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
44433coml 1110 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
45 addclpi 6311 . . . . . . . . . 10 ((f N g N) → (f +N g) N)
46 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N (f +N g) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4745, 46sylan2 270 . . . . . . . . 9 (( N (f N g N)) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4847ancoms 255 . . . . . . . 8 (((f N g N) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
49483impa 1098 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
50 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N f N) → ( ·N f) = (f ·N ))
5150ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((f N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
52513adant2 922 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
53 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N g N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5453ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
55543adant1 921 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5652, 55oveq12d 5473 . . . . . . 7 ((f N g N N) → (( ·N f) +N ( ·N g)) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2077 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5857adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
59 mulasspig 6316 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6059adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
61 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) N)
6261adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5634 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))))
64 mulasspig 6316 . . . . . . 7 ((y N w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
65643adant1l 1126 . . . . . 6 (((x N y N) w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
66653adant2l 1128 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
67663adant3r 1131 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
6863, 67oveq12d 5473 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))))
69 distrpig 6317 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N (w ·N v) N) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1134 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7170oveq2d 5471 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2079 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
73 mulasspig 6316 . . . . 5 ((y N w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
74733adant1l 1126 . . . 4 (((x N y N) w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
75743adant2l 1128 . . 3 (((x N y N) (z N w N) u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
76753adant3l 1130 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6152 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6390  addlocprlemeqgt  6515  addassprg  6553  ltexprlemloc  6579  ltexprlemrl  6582  ltexprlemru  6584  addcanprleml  6586  addcanprlemu  6587
  Copyright terms: Public domain W3C validator