ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg Structured version   GIF version

Theorem addassnqg 6366
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6354 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6354 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 6354 . 2 (((((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N) (v N u N)) → ([⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 6354 . 2 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6312 . . . . 5 ((x N w N) → (x ·N w) N)
76ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (x ·N w) N)
8 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N z N) → (y ·N z) N)
98ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N z) N)
10 addclpi 6311 . . . 4 (((x ·N w) N (y ·N z) N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
12 mulclpi 6312 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
1312ad2ant2l 477 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N w) N)
1411, 13jca 290 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N))
15 mulclpi 6312 . . . . 5 ((z N u N) → (z ·N u) N)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
17 mulclpi 6312 . . . . 5 ((w N v N) → (w ·N v) N)
1817ad2ant2lr 479 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
19 addclpi 6311 . . . 4 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
21 mulclpi 6312 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2221ad2ant2l 477 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
2320, 22jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N))
24 simp1l 927 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
25 simp2r 930 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
26 simp3r 932 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
2725, 26, 21syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
28 mulclpi 6312 . . . . 5 ((x N (w ·N u) N) → (x ·N (w ·N u)) N)
2924, 27, 28syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N (w ·N u)) N)
30 simp1r 928 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
31 simp2l 929 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
3231, 26, 15syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
33 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N) → (y ·N (z ·N u)) N)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (z ·N u)) N)
35 simp3l 931 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
3625, 35, 17syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
37 mulclpi 6312 . . . . 5 ((y N (w ·N v) N) → (y ·N (w ·N v)) N)
3830, 36, 37syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (w ·N v)) N)
39 addasspig 6314 . . . 4 (((x ·N (w ·N u)) N (y ·N (z ·N u)) N (y ·N (w ·N v)) N) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1134 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
41 mulcompig 6315 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
4241adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
43 distrpig 6317 . . . . . . . 8 (( N f N g N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
44433coml 1110 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
45 addclpi 6311 . . . . . . . . . 10 ((f N g N) → (f +N g) N)
46 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N (f +N g) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4745, 46sylan2 270 . . . . . . . . 9 (( N (f N g N)) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4847ancoms 255 . . . . . . . 8 (((f N g N) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
49483impa 1098 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
50 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N f N) → ( ·N f) = (f ·N ))
5150ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((f N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
52513adant2 922 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
53 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (( N g N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5453ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
55543adant1 921 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5652, 55oveq12d 5473 . . . . . . 7 ((f N g N N) → (( ·N f) +N ( ·N g)) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2077 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5857adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
59 mulasspig 6316 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6059adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
61 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) N)
6261adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5634 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))))
64 mulasspig 6316 . . . . . . 7 ((y N w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
65643adant1l 1126 . . . . . 6 (((x N y N) w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
66653adant2l 1128 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
67663adant3r 1131 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
6863, 67oveq12d 5473 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))))
69 distrpig 6317 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N (w ·N v) N) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1134 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7170oveq2d 5471 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2079 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
73 mulasspig 6316 . . . . 5 ((y N w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
74733adant1l 1126 . . . 4 (((x N y N) w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
75743adant2l 1128 . . 3 (((x N y N) (z N w N) u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
76753adant3l 1130 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6152 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6390  addlocprlemeqgt  6515  addassprg  6555  ltexprlemloc  6581  ltexprlemrl  6584  ltexprlemru  6586  addcanprleml  6588  addcanprlemu  6589  cauappcvgprlemdisj  6623  cauappcvgprlemloc  6624  cauappcvgprlemladdfl  6627  cauappcvgprlemladdru  6628  cauappcvgprlemladdrl  6629  cauappcvgprlem1  6631  caucvgprlemloc  6646  caucvgprlemladdrl  6649
  Copyright terms: Public domain W3C validator