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Theorem addassnqg 6230
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6196 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6218 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6218 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 6218 . 2 (((((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N) (v N u N)) → ([⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 6218 . 2 (((x N y N) (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6177 . . . . 5 ((x N w N) → (x ·N w) N)
76ad2ant2rl 465 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (x ·N w) N)
8 mulclpi 6177 . . . . 5 ((y N z N) → (y ·N z) N)
98ad2ant2lr 464 . . . 4 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N z) N)
10 addclpi 6176 . . . 4 (((x ·N w) N (y ·N z) N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) N)
12 mulclpi 6177 . . . 4 ((y N w N) → (y ·N w) N)
1312ad2ant2l 462 . . 3 (((x N y N) (z N w N)) → (y ·N w) N)
1411, 13jca 290 . 2 (((x N y N) (z N w N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) N (y ·N w) N))
15 mulclpi 6177 . . . . 5 ((z N u N) → (z ·N u) N)
1615ad2ant2rl 465 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
17 mulclpi 6177 . . . . 5 ((w N v N) → (w ·N v) N)
1817ad2ant2lr 464 . . . 4 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
19 addclpi 6176 . . . 4 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
21 mulclpi 6177 . . . 4 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2221ad2ant2l 462 . . 3 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
2320, 22jca 290 . 2 (((z N w N) (v N u N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N))
24 simp1l 912 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
25 simp2r 915 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
26 simp3r 917 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
2725, 26, 21syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
28 mulclpi 6177 . . . . 5 ((x N (w ·N u) N) → (x ·N (w ·N u)) N)
2924, 27, 28syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N (w ·N u)) N)
30 simp1r 913 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
31 simp2l 914 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
3231, 26, 15syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
33 mulclpi 6177 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N) → (y ·N (z ·N u)) N)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (z ·N u)) N)
35 simp3l 916 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
3625, 35, 17syl2anc 391 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
37 mulclpi 6177 . . . . 5 ((y N (w ·N v) N) → (y ·N (w ·N v)) N)
3830, 36, 37syl2anc 391 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N (w ·N v)) N)
39 addasspig 6179 . . . 4 (((x ·N (w ·N u)) N (y ·N (z ·N u)) N (y ·N (w ·N v)) N) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1118 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
41 mulcompig 6180 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
4241adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
43 distrpig 6182 . . . . . . . 8 (( N f N g N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
44433coml 1094 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = (( ·N f) +N ( ·N g)))
45 addclpi 6176 . . . . . . . . . 10 ((f N g N) → (f +N g) N)
46 mulcompig 6180 . . . . . . . . . 10 (( N (f +N g) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4745, 46sylan2 270 . . . . . . . . 9 (( N (f N g N)) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
4847ancoms 255 . . . . . . . 8 (((f N g N) N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
49483impa 1082 . . . . . . 7 ((f N g N N) → ( ·N (f +N g)) = ((f +N g) ·N ))
50 mulcompig 6180 . . . . . . . . . 10 (( N f N) → ( ·N f) = (f ·N ))
5150ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((f N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
52513adant2 907 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N f) = (f ·N ))
53 mulcompig 6180 . . . . . . . . . 10 (( N g N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5453ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
55543adant1 906 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ( ·N g) = (g ·N ))
5652, 55oveq12d 5445 . . . . . . 7 ((f N g N N) → (( ·N f) +N ( ·N g)) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2056 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
5857adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f +N g) ·N ) = ((f ·N ) +N (g ·N )))
59 mulasspig 6181 . . . . . 6 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
6059adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
61 mulclpi 6177 . . . . . 6 ((f N g N) → (f ·N g) N)
6261adantl 262 . . . . 5 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5606 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))))
64 mulasspig 6181 . . . . . . 7 ((y N w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
65643adant1l 1110 . . . . . 6 (((x N y N) w N v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
66653adant2l 1112 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) v N) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
67663adant3r 1115 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v)))
6863, 67oveq12d 5445 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))))
69 distrpig 6182 . . . . 5 ((y N (z ·N u) N (w ·N v) N) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1118 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
7170oveq2d 5443 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2058 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))))
73 mulasspig 6181 . . . . 5 ((y N w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
74733adant1l 1110 . . . 4 (((x N y N) w N u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
75743adant2l 1112 . . 3 (((x N y N) (z N w N) u N) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
76753adant3l 1114 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6118 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → ((A +Q B) +Q 𝐶) = (A +Q (B +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 869   = wceq 1226   wcel 1369  (class class class)co 5427  Ncnpi 6121   +N cpli 6122   ·N cmi 6123   ~Q ceq 6128  Qcnq 6129   +Q cplq 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 870  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-id 3996  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-er 6008  df-ec 6010  df-qs 6014  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155  df-plpq 6192  df-enq 6195  df-nqqs 6196  df-plqqs 6197
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6254  addlocprlemeqgt  6376  addassprg  6407  ltexprlemloc  6433  ltexprlemrl  6436  ltexprlemru  6438  addcanprleml  6440  addcanprlemu  6441
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