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Theorem ltexprlemloc 6580
 Description: Our constructed difference is located. Lemma for ltexpri 6586. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
Assertion
Ref Expression
ltexprlemloc (A<P B𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶))))
Distinct variable groups:   x,y,𝑞,𝑟,A   x,B,y,𝑞,𝑟   x,𝐶,y,𝑞,𝑟

Proof of Theorem ltexprlemloc
Dummy variables z w f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6392 . . . . . 6 (𝑞 <Q 𝑟w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)
21adantl 262 . . . . 5 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)
3 ltrelpr 6487 . . . . . . . . . 10 <P ⊆ (P × P)
43brel 4335 . . . . . . . . 9 (A<P B → (A P B P))
54simpld 105 . . . . . . . 8 (A<P BA P)
6 prop 6457 . . . . . . . . 9 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
7 prarloc 6485 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P w Q) → z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w))
86, 7sylan 267 . . . . . . . 8 ((A P w Q) → z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w))
95, 8sylan 267 . . . . . . 7 ((A<P B w Q) → z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w))
109ad2ant2r 478 . . . . . 6 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w))
114simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14 (A<P BB P)
1211ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → B P)
1312ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) y <Q (z +Q w)) → B P)
14 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
16 elprnqu 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P y (2ndA)) → y Q)
176, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A P y (2ndA)) → y Q)
185, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A<P B y (2ndA)) → y Q)
1918adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) y (2ndA)) → y Q)
2019ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → y Q)
21 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
226, 21sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((A P z (1stA)) → z Q)
235, 22sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A<P B z (1stA)) → z Q)
2423adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) z (1stA)) → z Q)
2524ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → z Q)
26 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → w Q)
27 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((z Q w Q) → (z +Q w) Q)
2825, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (z +Q w) Q)
29 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q ⊆ (Q × Q)
3029brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 Q 𝑟 Q))
3130simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 <Q 𝑟𝑞 Q)
3231adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 Q)
3332ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → 𝑞 Q)
34 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
3534adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
3615, 20, 28, 33, 35caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (y <Q (z +Q w) ↔ (y +Q 𝑞) <Q ((z +Q w) +Q 𝑞)))
37 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((z Q w Q 𝑞 Q) → ((z +Q w) +Q 𝑞) = (z +Q (w +Q 𝑞)))
3825, 26, 33, 37syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → ((z +Q w) +Q 𝑞) = (z +Q (w +Q 𝑞)))
39 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((w Q 𝑞 Q) → (w +Q 𝑞) = (𝑞 +Q w))
4026, 33, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (w +Q 𝑞) = (𝑞 +Q w))
4140oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (z +Q (w +Q 𝑞)) = (z +Q (𝑞 +Q w)))
42 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (𝑞 +Q w) = 𝑟)
4342oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (z +Q (𝑞 +Q w)) = (z +Q 𝑟))
4438, 41, 433eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → ((z +Q w) +Q 𝑞) = (z +Q 𝑟))
4544breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → ((y +Q 𝑞) <Q ((z +Q w) +Q 𝑞) ↔ (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑟)))
4636, 45bitrd 177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (y <Q (z +Q w) ↔ (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑟)))
4746biimpa 280 . . . . . . . . . . . 12 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) y <Q (z +Q w)) → (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑟))
48 prop 6457 . . . . . . . . . . . . 13 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
49 prloc 6473 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑟)) → ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)))
5048, 49sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((B P (y +Q 𝑞) <Q (z +Q 𝑟)) → ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)))
5113, 47, 50syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) y <Q (z +Q w)) → ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)))
5251ex 108 . . . . . . . . . 10 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) (z (1stA) y (2ndA))) → (y <Q (z +Q w) → ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
5352anassrs 380 . . . . . . . . 9 (((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) z (1stA)) y (2ndA)) → (y <Q (z +Q w) → ((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
5453reximdva 2415 . . . . . . . 8 ((((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) z (1stA)) → (y (2ndA)y <Q (z +Q w) → y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
5554reximdva 2415 . . . . . . 7 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → (z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w) → z (1stA)y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
56 prml 6459 . . . . . . . . . . . 12 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Pz Q z (1stA))
57 rexex 2362 . . . . . . . . . . . 12 (z Q z (1stA) → z z (1stA))
586, 56, 573syl 17 . . . . . . . . . . 11 (A Pz z (1stA))
59 r19.45mv 3309 . . . . . . . . . . 11 (z z (1stA) → (z (1stA)(y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
605, 58, 593syl 17 . . . . . . . . . 10 (A<P B → (z (1stA)(y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
6160adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → (z (1stA)(y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
62 prmu 6460 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Px Q x (2ndA))
63 rexex 2362 . . . . . . . . . . . . 13 (x Q x (2ndA) → x x (2ndA))
646, 62, 633syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (A Px x (2ndA))
65 r19.9rmv 3307 . . . . . . . . . . . . . 14 (x x (2ndA) → ((z +Q 𝑟) (2ndB) ↔ y (2ndA)(z +Q 𝑟) (2ndB)))
6665orbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13 (x x (2ndA) → ((y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) y (2ndA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
67 r19.43 2462 . . . . . . . . . . . . 13 (y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) y (2ndA)(z +Q 𝑟) (2ndB)))
6866, 67syl6rbbr 188 . . . . . . . . . . . 12 (x x (2ndA) → (y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
695, 64, 683syl 17 . . . . . . . . . . 11 (A<P B → (y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
7069rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10 (A<P B → (z (1stA)y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ z (1stA)(y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
7170adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → (z (1stA)y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ z (1stA)(y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
72 ibar 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 Q → (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) ↔ (𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)))))
7372adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 Q 𝑟 Q) → (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) ↔ (𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)))))
74 ibar 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 Q → (z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))))
7574adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 Q 𝑟 Q) → (z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))))
7673, 75orbi12d 706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 Q 𝑟 Q) → ((y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))) ↔ ((𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))))
7730, 76syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 <Q 𝑟 → ((y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))) ↔ ((𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))))
78 ltexprlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
7978ltexprlemell 6571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 (1st𝐶) ↔ (𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))))
8078ltexprlemelu 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 (2nd𝐶) ↔ (𝑟 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑟) (2ndB))))
81 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → (y (1stA) ↔ z (1stA)))
82 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = z → (y +Q 𝑟) = (z +Q 𝑟))
8382eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → ((y +Q 𝑟) (2ndB) ↔ (z +Q 𝑟) (2ndB)))
8481, 83anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = z → ((y (1stA) (y +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
8584cbvexv 1792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y(y (1stA) (y +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))
8685anbi2i 430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑟) (2ndB))) ↔ (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
8780, 86bitri 173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 (2nd𝐶) ↔ (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
8879, 87orbi12i 680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ ((𝑞 Q y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB))) (𝑟 Q z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))))
8977, 88syl6rbbr 188 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 <Q 𝑟 → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))))
90 df-rex 2306 . . . . . . . . . . . 12 (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) ↔ y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)))
91 df-rex 2306 . . . . . . . . . . . 12 (z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB) ↔ z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB)))
9290, 91orbi12i 680 . . . . . . . . . . 11 ((y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB)) ↔ (y(y (2ndA) (y +Q 𝑞) (1stB)) z(z (1stA) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
9389, 92syl6bbr 187 . . . . . . . . . 10 (𝑞 <Q 𝑟 → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
9493adantl 262 . . . . . . . . 9 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ (y (2ndA)(y +Q 𝑞) (1stB) z (1stA)(z +Q 𝑟) (2ndB))))
9561, 71, 943bitr4rd 210 . . . . . . . 8 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ z (1stA)y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
9695adantr 261 . . . . . . 7 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → ((𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)) ↔ z (1stA)y (2ndA)((y +Q 𝑞) (1stB) (z +Q 𝑟) (2ndB))))
9755, 96sylibrd 158 . . . . . 6 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → (z (1stA)y (2ndA)y <Q (z +Q w) → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶))))
9810, 97mpd 13 . . . . 5 (((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) (w Q (𝑞 +Q w) = 𝑟)) → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)))
992, 98rexlimddv 2431 . . . 4 ((A<P B 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶)))
10099ex 108 . . 3 (A<P B → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶))))
101100ralrimivw 2387 . 2 (A<P B𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶))))
102101ralrimivw 2387 1 (A<P B𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1st𝐶) 𝑟 (2nd𝐶))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  {crab 2304  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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