Theorem prarloc 6601

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 6602 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 6575	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2312	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 6576	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2312	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 6512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)
10	9	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)
11		df-rex 2312	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 127	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))
13	12	ancli 306	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)))
14		19.42v 1786	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 137	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)))
16		eeeanv 1808	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1088	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 6517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))
19		df-rex 2312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))))
26	25	ancli 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))))
27		19.42v 1786	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 137	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1492	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1491	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))))
31		simpl1l 955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)
35	34	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))
37		simp3ll 975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 1𝑜 <N 𝑛)
42		simprrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)))
43		simpl2r 958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 6583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → (𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 6599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1𝑜 <N 𝑛) ∧ (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1786	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 56	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))
80		simprl2 950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃)
82	80, 81	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))
83		simprl1 949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 6600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))
88	78, 87	jca 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
91	90	anasss 379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1492	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1489	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +Q0 ([⟨𝑚, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +Q ([⟨(𝑚 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1776	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1776	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑞) <Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1𝑜 <N 𝑛 ∧ 𝑦 <Q (𝑥 +Q ([⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
99		excom 1554	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 127	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
101		19.42v 1786	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
102		df-rex 2312	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 176	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)))
105	104	exbii 1496	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)))
106		df-rex 2312	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 176	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 127	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   +_𝑜 coa 5998  [cec 6104  Ncnpi 6370   <_N clti 6373   ~_Q ceq 6377  Qcnq 6378   +_Q cplq 6380   ·_Q cmq 6381   <_Q cltq 6383   ~_Q0 ceq0 6384   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388  Pcnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prarloc2  6602  addlocpr  6634  prmuloc  6664  ltaddpr  6695  ltexprlemloc  6705  ltexprlemrl  6708  ltexprlemru  6710