ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc Structured version   GIF version

Theorem prloc 6339
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (A 𝐿 B 𝑈))

Proof of Theorem prloc
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6322 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
2 simpr3 898 . . . 4 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
31, 2sylbi 114 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
43adantr 261 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
5 ax-ia2 100 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → A <Q B)
6 ltrelnq 6218 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4315 . . . . . 6 (A <Q B → (A Q B Q))
87simpld 105 . . . . 5 (A <Q BA Q)
98adantl 262 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → A Q)
10 ax-ia2 100 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → 𝑞 = A)
1110breq1d 3744 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑞 <Q 𝑟A <Q 𝑟))
1210eleq1d 2084 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑞 𝐿A 𝐿))
1312orbi1d 692 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → ((𝑞 𝐿 𝑟 𝑈) ↔ (A 𝐿 𝑟 𝑈)))
1411, 13imbi12d 223 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
1514ralbidv 2300 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ 𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
169, 15rspcdv 2632 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) → 𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
177simprd 107 . . . . 5 (A <Q BB Q)
1817adantl 262 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → B Q)
19 ax-ia2 100 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → 𝑟 = B)
2019breq2d 3746 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → (A <Q 𝑟A <Q B))
2119eleq1d 2084 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → (𝑟 𝑈B 𝑈))
2221orbi2d 691 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → ((A 𝐿 𝑟 𝑈) ↔ (A 𝐿 B 𝑈)))
2320, 22imbi12d 223 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → ((A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
2418, 23rspcdv 2632 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈)) → (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
2516, 24syld 40 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) → (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
264, 5, 25mp2d 41 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (A 𝐿 B 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-qs 6019  df-ni 6158  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6344  mullocprlem  6408  ltsopr  6427  ltexprlemloc  6438  addcanprleml  6445  addcanprlemu  6446  recexprlemloc  6459
  Copyright terms: Public domain W3C validator