ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc Structured version   GIF version

Theorem prloc 6473
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (A 𝐿 B 𝑈))

Proof of Theorem prloc
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6456 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
2 simpr3 911 . . . 4 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
31, 2sylbi 114 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
43adantr 261 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
5 simpr 103 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → A <Q B)
6 ltrelnq 6349 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4335 . . . . . 6 (A <Q B → (A Q B Q))
87simpld 105 . . . . 5 (A <Q BA Q)
98adantl 262 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → A Q)
10 simpr 103 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → 𝑞 = A)
1110breq1d 3765 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑞 <Q 𝑟A <Q 𝑟))
1210eleq1d 2103 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑞 𝐿A 𝐿))
1312orbi1d 704 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → ((𝑞 𝐿 𝑟 𝑈) ↔ (A 𝐿 𝑟 𝑈)))
1411, 13imbi12d 223 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
1514ralbidv 2320 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑞 = A) → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ 𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
169, 15rspcdv 2653 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) → 𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈))))
177simprd 107 . . . . 5 (A <Q BB Q)
1817adantl 262 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → B Q)
19 simpr 103 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → 𝑟 = B)
2019breq2d 3767 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → (A <Q 𝑟A <Q B))
2119eleq1d 2103 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → (𝑟 𝑈B 𝑈))
2221orbi2d 703 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → ((A 𝐿 𝑟 𝑈) ↔ (A 𝐿 B 𝑈)))
2320, 22imbi12d 223 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 = B) → ((A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈)) ↔ (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
2418, 23rspcdv 2653 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑟 Q (A <Q 𝑟 → (A 𝐿 𝑟 𝑈)) → (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
2516, 24syld 40 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)) → (A <Q B → (A 𝐿 B 𝑈))))
264, 5, 25mp2d 41 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → (A 𝐿 B 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6478  addnqprlemfl  6539  addnqprlemfu  6540  mullocprlem  6550  ltsopr  6569  ltexprlemloc  6580  addcanprleml  6587  addcanprlemu  6588  recexprlemloc  6602  cauappcvgprlemladdru  6627  cauappcvgprlemladdrl  6628
  Copyright terms: Public domain W3C validator