Theorem r19.43 2462

Description: Restricted version of Theorem 19.43 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 27-May-1998.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
r19.43	⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ))

Proof of Theorem r19.43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2306	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)))
2		andi 730	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)))
3	2	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ∃x((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)))
4	1, 3	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ ∃x((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)))
5		19.43 1516	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ φ) ∨ (x ∈ A ∧ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
6	4, 5	bitri 173	. 2 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
7		df-rex 2306	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
8		df-rex 2306	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ψ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ψ))
9	7, 8	orbi12i 680	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∨ ∃x(x ∈ A ∧ ψ)))
10	6, 9	bitr4i 176	1 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∨ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∨ ∃x ∈ A ψ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-4 1397  ax-ial 1424

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-rex 2306

This theorem is referenced by:  r19.44av  2463  r19.45av  2464  r19.45mv  3309  iunun  3725  ltexprlemloc  6581