ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpipqqs Structured version   GIF version

Theorem addpipqqs 6354
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addpipqqs (((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q +Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) = [⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩] ~Q )

Proof of Theorem addpipqqs
Dummy variables x y z w v u 𝑡 𝑠 f g 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addpipqqslem 6353 . 2 (((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩ (N × N))
2 addpipqqslem 6353 . 2 (((𝑎 N 𝑏 N) (g N N)) → ⟨((𝑎 ·N ) +N (𝑏 ·N g)), (𝑏 ·N )⟩ (N × N))
3 addpipqqslem 6353 . 2 (((𝑐 N 𝑑 N) (𝑡 N 𝑠 N)) → ⟨((𝑐 ·N 𝑠) +N (𝑑 ·N 𝑡)), (𝑑 ·N 𝑠)⟩ (N × N))
4 enqex 6344 . 2 ~Q V
5 enqer 6342 . 2 ~Q Er (N × N)
6 df-enq 6331 . 2 ~Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x (N × N) y (N × N)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·N u) = (w ·N v)))}
7 oveq12 5464 . . . 4 ((z = 𝑎 u = 𝑑) → (z ·N u) = (𝑎 ·N 𝑑))
8 oveq12 5464 . . . 4 ((w = 𝑏 v = 𝑐) → (w ·N v) = (𝑏 ·N 𝑐))
97, 8eqeqan12d 2052 . . 3 (((z = 𝑎 u = 𝑑) (w = 𝑏 v = 𝑐)) → ((z ·N u) = (w ·N v) ↔ (𝑎 ·N 𝑑) = (𝑏 ·N 𝑐)))
109an42s 523 . 2 (((z = 𝑎 w = 𝑏) (v = 𝑐 u = 𝑑)) → ((z ·N u) = (w ·N v) ↔ (𝑎 ·N 𝑑) = (𝑏 ·N 𝑐)))
11 oveq12 5464 . . . 4 ((z = g u = 𝑠) → (z ·N u) = (g ·N 𝑠))
12 oveq12 5464 . . . 4 ((w = v = 𝑡) → (w ·N v) = ( ·N 𝑡))
1311, 12eqeqan12d 2052 . . 3 (((z = g u = 𝑠) (w = v = 𝑡)) → ((z ·N u) = (w ·N v) ↔ (g ·N 𝑠) = ( ·N 𝑡)))
1413an42s 523 . 2 (((z = g w = ) (v = 𝑡 u = 𝑠)) → ((z ·N u) = (w ·N v) ↔ (g ·N 𝑠) = ( ·N 𝑡)))
15 dfplpq2 6338 . 2 +pQ = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x (N × N) y (N × N)) wvuf((x = ⟨w, v y = ⟨u, f⟩) z = ⟨((w ·N f) +N (v ·N u)), (v ·N f)⟩))}
16 oveq12 5464 . . . . 5 ((w = 𝑎 f = ) → (w ·N f) = (𝑎 ·N ))
17 oveq12 5464 . . . . 5 ((v = 𝑏 u = g) → (v ·N u) = (𝑏 ·N g))
1816, 17oveqan12d 5474 . . . 4 (((w = 𝑎 f = ) (v = 𝑏 u = g)) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((𝑎 ·N ) +N (𝑏 ·N g)))
1918an42s 523 . . 3 (((w = 𝑎 v = 𝑏) (u = g f = )) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((𝑎 ·N ) +N (𝑏 ·N g)))
20 oveq12 5464 . . . 4 ((v = 𝑏 f = ) → (v ·N f) = (𝑏 ·N ))
2120ad2ant2l 477 . . 3 (((w = 𝑎 v = 𝑏) (u = g f = )) → (v ·N f) = (𝑏 ·N ))
2219, 21opeq12d 3548 . 2 (((w = 𝑎 v = 𝑏) (u = g f = )) → ⟨((w ·N f) +N (v ·N u)), (v ·N f)⟩ = ⟨((𝑎 ·N ) +N (𝑏 ·N g)), (𝑏 ·N )⟩)
23 oveq12 5464 . . . . 5 ((w = 𝑐 f = 𝑠) → (w ·N f) = (𝑐 ·N 𝑠))
24 oveq12 5464 . . . . 5 ((v = 𝑑 u = 𝑡) → (v ·N u) = (𝑑 ·N 𝑡))
2523, 24oveqan12d 5474 . . . 4 (((w = 𝑐 f = 𝑠) (v = 𝑑 u = 𝑡)) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((𝑐 ·N 𝑠) +N (𝑑 ·N 𝑡)))
2625an42s 523 . . 3 (((w = 𝑐 v = 𝑑) (u = 𝑡 f = 𝑠)) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((𝑐 ·N 𝑠) +N (𝑑 ·N 𝑡)))
27 oveq12 5464 . . . 4 ((v = 𝑑 f = 𝑠) → (v ·N f) = (𝑑 ·N 𝑠))
2827ad2ant2l 477 . . 3 (((w = 𝑐 v = 𝑑) (u = 𝑡 f = 𝑠)) → (v ·N f) = (𝑑 ·N 𝑠))
2926, 28opeq12d 3548 . 2 (((w = 𝑐 v = 𝑑) (u = 𝑡 f = 𝑠)) → ⟨((w ·N f) +N (v ·N u)), (v ·N f)⟩ = ⟨((𝑐 ·N 𝑠) +N (𝑑 ·N 𝑡)), (𝑑 ·N 𝑠)⟩)
30 oveq12 5464 . . . . 5 ((w = A f = 𝐷) → (w ·N f) = (A ·N 𝐷))
31 oveq12 5464 . . . . 5 ((v = B u = 𝐶) → (v ·N u) = (B ·N 𝐶))
3230, 31oveqan12d 5474 . . . 4 (((w = A f = 𝐷) (v = B u = 𝐶)) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)))
3332an42s 523 . . 3 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → ((w ·N f) +N (v ·N u)) = ((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)))
34 oveq12 5464 . . . 4 ((v = B f = 𝐷) → (v ·N f) = (B ·N 𝐷))
3534ad2ant2l 477 . . 3 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → (v ·N f) = (B ·N 𝐷))
3633, 35opeq12d 3548 . 2 (((w = A v = B) (u = 𝐶 f = 𝐷)) → ⟨((w ·N f) +N (v ·N u)), (v ·N f)⟩ = ⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩)
37 df-plqqs 6333 . 2 +Q = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x Q y Q) 𝑎𝑏𝑐𝑑((x = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q y = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) z = [(⟨𝑎, 𝑏⟩ +pQ𝑐, 𝑑⟩)] ~Q ))}
38 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
39 addcmpblnq 6351 . 2 ((((𝑎 N 𝑏 N) (𝑐 N 𝑑 N)) ((g N N) (𝑡 N 𝑠 N))) → (((𝑎 ·N 𝑑) = (𝑏 ·N 𝑐) (g ·N 𝑠) = ( ·N 𝑡)) → ⟨((𝑎 ·N ) +N (𝑏 ·N g)), (𝑏 ·N )⟩ ~Q ⟨((𝑐 ·N 𝑠) +N (𝑑 ·N 𝑡)), (𝑑 ·N 𝑠)⟩))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 22, 29, 36, 37, 38, 39oviec 6148 1 (((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q +Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) = [⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   +pQ cplpq 6260   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333
This theorem is referenced by:  addclnq  6359  addcomnqg  6365  addassnqg  6366  distrnqg  6371  ltanqg  6384  1lt2nq  6389  ltexnqq  6391  nqnq0a  6436  addpinq1  6446
  Copyright terms: Public domain W3C validator