Theorem addclpi 6311

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 6300	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
2		pinn 6293	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
3		pinn 6293	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N → B ∈ 𝜔)
4		nnacl 5998	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
5	3, 4	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
6		elni2 6298	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N ↔ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B))
7		nnaordi 6017	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B)))
8		ne0i 3224	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 29	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅))
10	9	expcom 109	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅)))
11	10	imp32 244	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B)) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 271	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
13		elni 6292	. . . 4 ⊢ ((A +𝑜 B) ∈ N ↔ ((A +𝑜 B) ∈ 𝜔 ∧ (A +𝑜 B) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
15	2, 14	sylan 267	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2111	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ∅c0 3218  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +_𝑜 coa 5937  Ncnpi 6256   +_N cpli 6257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-ni 6288  df-pli 6289

This theorem is referenced by:  addasspig  6314  distrpig  6317  ltapig  6322  1lt2pi  6324  indpi  6326  addcmpblnq  6351  addpipqqslem  6353  addclnq  6359  addassnqg  6366  distrnqg  6371  ltanqg  6384  1lt2nq  6389  ltexnqq  6391  archnqq  6400  prarloclemarch2  6402  nqnq0a  6436