Theorem addclpi 6187

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 6176	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
2		pinn 6169	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
3		pinn 6169	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N → B ∈ 𝜔)
4		nnacl 5974	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
5	3, 4	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
6		elni2 6174	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N ↔ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B))
7		nnaordi 5992	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B)))
8		ne0i 3207	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 29	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅))
10	9	expcom 109	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅)))
11	10	imp32 244	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B)) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 271	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
13		elni 6168	. . . 4 ⊢ ((A +𝑜 B) ∈ N ↔ ((A +𝑜 B) ∈ 𝜔 ∧ (A +𝑜 B) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 396	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
15	2, 14	sylan 267	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2096	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1374   ≠ wne 2186  ∅c0 3201  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   +_𝑜 coa 5913  Ncnpi 6130   +_N cpli 6131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-ni 6164  df-pli 6165

This theorem is referenced by:  addasspig  6190  distrpig  6193  ltapig  6198  1lt2pi  6200  addcmpblnq  6226  addpipqqslem  6228  addclnq  6234  addassnqg  6241  distrnqg  6246  ltanqg  6259  1lt2nq  6264  ltexnqq  6266  archnqq  6274  prarloclemarch2  6276  nqnq0a  6309