ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   GIF version

Theorem addclpi 6187
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((A N B N) → (A +N B) N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 6176 . 2 ((A N B N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
2 pinn 6169 . . 3 (A NA 𝜔)
3 pinn 6169 . . . . 5 (B NB 𝜔)
4 nnacl 5974 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A +𝑜 B) 𝜔)
53, 4sylan2 270 . . . 4 ((A 𝜔 B N) → (A +𝑜 B) 𝜔)
6 elni2 6174 . . . . 5 (B N ↔ (B 𝜔 B))
7 nnaordi 5992 . . . . . . . 8 ((B 𝜔 A 𝜔) → (∅ B → (A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B)))
8 ne0i 3207 . . . . . . . 8 ((A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
97, 8syl6 29 . . . . . . 7 ((B 𝜔 A 𝜔) → (∅ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅))
109expcom 109 . . . . . 6 (A 𝜔 → (B 𝜔 → (∅ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅)))
1110imp32 244 . . . . 5 ((A 𝜔 (B 𝜔 B)) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 271 . . . 4 ((A 𝜔 B N) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
13 elni 6168 . . . 4 ((A +𝑜 B) N ↔ ((A +𝑜 B) 𝜔 (A +𝑜 B) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 396 . . 3 ((A 𝜔 B N) → (A +𝑜 B) N)
152, 14sylan 267 . 2 ((A N B N) → (A +𝑜 B) N)
161, 15eqeltrd 2096 1 ((A N B N) → (A +N B) N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1374  wne 2186  c0 3201  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   +𝑜 coa 5913  Ncnpi 6130   +N cpli 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-ni 6164  df-pli 6165
This theorem is referenced by:  addasspig  6190  distrpig  6193  ltapig  6198  1lt2pi  6200  addcmpblnq  6226  addpipqqslem  6228  addclnq  6234  addassnqg  6241  distrnqg  6246  ltanqg  6259  1lt2nq  6264  ltexnqq  6266  archnqq  6274  prarloclemarch2  6276  nqnq0a  6309
  Copyright terms: Public domain W3C validator