Theorem addclpi 6174

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 6163	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
2		pinn 6156	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
3		pinn 6156	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N → B ∈ 𝜔)
4		nnacl 5963	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
5	3, 4	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ 𝜔)
6		elni2 6161	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N ↔ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B))
7		nnaordi 5981	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B)))
8		ne0i 3199	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +𝑜 ∅) ∈ (A +𝑜 B) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 29	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅))
10	9	expcom 109	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (∅ ∈ B → (A +𝑜 B) ≠ ∅)))
11	10	imp32 244	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ (B ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ B)) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 271	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ≠ ∅)
13		elni 6155	. . . 4 ⊢ ((A +𝑜 B) ∈ N ↔ ((A +𝑜 B) ∈ 𝜔 ∧ (A +𝑜 B) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
15	2, 14	sylan 267	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +𝑜 B) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2088	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A +N B) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1367   ≠ wne 2178  ∅c0 3193  𝜔com 4229  (class class class)co 5425   +_𝑜 coa 5902  Ncnpi 6119   +_N cpli 6120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-13 1378  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-coll 3836  ax-sep 3839  ax-nul 3847  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-un 4109  ax-setind 4193  ax-iinf 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-csb 2822  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-nul 3194  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-int 3580  df-iun 3623  df-br 3729  df-opab 3783  df-mpt 3784  df-tr 3819  df-id 3994  df-iord 4042  df-on 4044  df-suc 4047  df-iom 4230  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-rn 4272  df-res 4273  df-ima 4274  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fn 4821  df-f 4822  df-f1 4823  df-fo 4824  df-f1o 4825  df-fv 4826  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-1st 5679  df-2nd 5680  df-recs 5831  df-irdg 5867  df-oadd 5909  df-ni 6151  df-pli 6152

This theorem is referenced by:  addasspig  6177  distrpig  6180  ltapig  6185  1lt2pi  6187  addcmpblnq  6213  addpipqqslem  6215  addclnq  6221  addassnqg  6228  distrnqg  6233  ltanqg  6246  1lt2nq  6251  ltexnqq  6253  archnqq  6261  prarloclemarch2  6263  nqnq0a  6296