Theorem addcmpblnq 6465

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 6431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
2	1	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
3		simplll 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
4		simprlr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
5		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
6	3, 4, 5	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
7		simpllr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
8		simprll 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
9		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
11		mulclpi 6426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
12	11	ad2ant2l 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
14		addclpi 6425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
15	14	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
16		mulcompig 6429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
17	16	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 5677	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19		simplrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
20		mulasspig 6430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21	20	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
22		simprrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
23		mulclpi 6426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	23	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5685	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5685	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
27	25, 26	oveq12d 5530	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
28	18, 27	eqtrd 2072	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29		oveq1 5519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30		oveq2 5520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
31	29, 30	oveqan12d 5531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	28, 31	sylan9eq 2092	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
34	7, 4, 33	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
35		simplrl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
36		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
37	35, 22, 36	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
38		simprrl 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
39		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
40	19, 38, 39	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
41		distrpig 6431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 5685	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 5685	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
45	43, 44	oveq12d 5530	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
46	42, 45	eqtrd 2072	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
47	46	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
48	32, 47	eqtr4d 2075	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49		addclpi 6425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
50	5, 9, 49	syl2an 273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
51	50	an42s 523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
52	33	ad2ant2l 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
53	51, 52	jca 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54		addclpi 6425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
55	36, 39, 54	syl2an 273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
56	55	an42s 523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
57	56, 12	jca 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
58	53, 57	anim12i 321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
59	58	an4s 522	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
60		enqbreq 6454	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
61	59, 60	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
62	61	adantr 261	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
63	48, 62	mpbird 156	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
64	63	ex 108	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Ncnpi 6370   +_N cpli 6371   ·_N cmi 6372   ~_Q ceq 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-enq 6445

This theorem is referenced by:  addpipqqs  6468