ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Structured version   GIF version

Theorem addcmpblnq 6212
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 6179 . . . . . . . 8 ((x N y N z N) → (x ·N (y +N z)) = ((x ·N y) +N (x ·N z)))
21adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N z N)) → (x ·N (y +N z)) = ((x ·N y) +N (x ·N z)))
3 simplll 470 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → A N)
4 simprlr 475 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐺 N)
5 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((A N 𝐺 N) → (A ·N 𝐺) N)
63, 4, 5syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (A ·N 𝐺) N)
7 simpllr 471 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → B N)
8 simprll 474 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐹 N)
9 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((B N 𝐹 N) → (B ·N 𝐹) N)
107, 8, 9syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (B ·N 𝐹) N)
11 mulclpi 6174 . . . . . . . . 9 ((𝐷 N 𝑆 N) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
1211ad2ant2l 462 . . . . . . . 8 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
1312ad2ant2l 462 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
14 addclpi 6173 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x +N y) N)
1514adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x +N y) N)
16 mulcompig 6177 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
1716adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5588 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19 simplrr 473 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐷 N)
20 mulasspig 6178 . . . . . . . . 9 ((x N y N z N) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
2120adantl 262 . . . . . . . 8 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N z N)) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
22 simprrr 477 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑆 N)
23 mulclpi 6174 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → (x ·N y) N)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) N)
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5596 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5596 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
2725, 26oveq12d 5442 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
2818, 27eqtrd 2045 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29 oveq1 5431 . . . . . 6 ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) → ((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30 oveq2 5432 . . . . . 6 ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3129, 30oveqan12d 5443 . . . . 5 (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3228, 31sylan9eq 2065 . . . 4 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((B N 𝐺 N) → (B ·N 𝐺) N)
347, 4, 33syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (B ·N 𝐺) N)
35 simplrl 472 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐶 N)
36 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((𝐶 N 𝑆 N) → (𝐶 ·N 𝑆) N)
3735, 22, 36syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐶 ·N 𝑆) N)
38 simprrl 476 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑅 N)
39 mulclpi 6174 . . . . . . . 8 ((𝐷 N 𝑅 N) → (𝐷 ·N 𝑅) N)
4019, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐷 ·N 𝑅) N)
41 distrpig 6179 . . . . . . 7 (((B ·N 𝐺) N (𝐶 ·N 𝑆) N (𝐷 ·N 𝑅) N) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
4234, 37, 40, 41syl3anc 1116 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 5596 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 5596 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
4543, 44oveq12d 5442 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4642, 45eqtrd 2045 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4746adantr 261 . . . 4 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4832, 47eqtr4d 2048 . . 3 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49 addclpi 6173 . . . . . . . . . 10 (((A ·N 𝐺) N (B ·N 𝐹) N) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
505, 9, 49syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((A N 𝐺 N) (B N 𝐹 N)) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
5150an42s 508 . . . . . . . 8 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
5233ad2ant2l 462 . . . . . . . 8 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → (B ·N 𝐺) N)
5351, 52jca 290 . . . . . . 7 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N))
54 addclpi 6173 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ·N 𝑆) N (𝐷 ·N 𝑅) N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5536, 39, 54syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((𝐶 N 𝑆 N) (𝐷 N 𝑅 N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5655an42s 508 . . . . . . . 8 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5756, 12jca 290 . . . . . . 7 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N))
5853, 57anim12i 321 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) ((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
5958an4s 507 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
60 enqbreq 6201 . . . . 5 (((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6159, 60syl 14 . . . 4 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6261adantr 261 . . 3 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6348, 62mpbird 156 . 2 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
6463ex 108 1 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  Ncnpi 6118   +N cpli 6119   ·N cmi 6120   ~Q ceq 6125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-enq 6192
This theorem is referenced by:  addpipqqs  6215
  Copyright terms: Public domain W3C validator