ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq Structured version   GIF version

Theorem addcmpblnq 6351
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distrpig 6317 . . . . . . . 8 ((x N y N z N) → (x ·N (y +N z)) = ((x ·N y) +N (x ·N z)))
21adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N z N)) → (x ·N (y +N z)) = ((x ·N y) +N (x ·N z)))
3 simplll 485 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → A N)
4 simprlr 490 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐺 N)
5 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((A N 𝐺 N) → (A ·N 𝐺) N)
63, 4, 5syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (A ·N 𝐺) N)
7 simpllr 486 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → B N)
8 simprll 489 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐹 N)
9 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((B N 𝐹 N) → (B ·N 𝐹) N)
107, 8, 9syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (B ·N 𝐹) N)
11 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9 ((𝐷 N 𝑆 N) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
1211ad2ant2l 477 . . . . . . . 8 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
1312ad2ant2l 477 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
14 addclpi 6311 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x +N y) N)
1514adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x +N y) N)
16 mulcompig 6315 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
1716adantl 262 . . . . . . 7 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
182, 6, 10, 13, 15, 17caovdir2d 5619 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19 simplrr 488 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐷 N)
20 mulasspig 6316 . . . . . . . . 9 ((x N y N z N) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
2120adantl 262 . . . . . . . 8 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N z N)) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
22 simprrr 492 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑆 N)
23 mulclpi 6312 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → (x ·N y) N)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) N)
253, 4, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5627 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
267, 8, 19, 17, 21, 22, 24caov4d 5627 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
2725, 26oveq12d 5473 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
2818, 27eqtrd 2069 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29 oveq1 5462 . . . . . 6 ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) → ((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30 oveq2 5463 . . . . . 6 ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3129, 30oveqan12d 5474 . . . . 5 (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((A ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3228, 31sylan9eq 2089 . . . 4 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((B N 𝐺 N) → (B ·N 𝐺) N)
347, 4, 33syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (B ·N 𝐺) N)
35 simplrl 487 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐶 N)
36 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((𝐶 N 𝑆 N) → (𝐶 ·N 𝑆) N)
3735, 22, 36syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐶 ·N 𝑆) N)
38 simprrl 491 . . . . . . . 8 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑅 N)
39 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((𝐷 N 𝑅 N) → (𝐷 ·N 𝑅) N)
4019, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (𝐷 ·N 𝑅) N)
41 distrpig 6317 . . . . . . 7 (((B ·N 𝐺) N (𝐶 ·N 𝑆) N (𝐷 ·N 𝑅) N) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
4234, 37, 40, 41syl3anc 1134 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
437, 4, 35, 17, 21, 22, 24caov4d 5627 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
447, 4, 19, 17, 21, 38, 24caov4d 5627 . . . . . . 7 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
4543, 44oveq12d 5473 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4642, 45eqtrd 2069 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4746adantr 261 . . . 4 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((B ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
4832, 47eqtr4d 2072 . . 3 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49 addclpi 6311 . . . . . . . . . 10 (((A ·N 𝐺) N (B ·N 𝐹) N) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
505, 9, 49syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((A N 𝐺 N) (B N 𝐹 N)) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
5150an42s 523 . . . . . . . 8 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → ((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N)
5233ad2ant2l 477 . . . . . . . 8 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → (B ·N 𝐺) N)
5351, 52jca 290 . . . . . . 7 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N))
54 addclpi 6311 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ·N 𝑆) N (𝐷 ·N 𝑅) N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5536, 39, 54syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((𝐶 N 𝑆 N) (𝐷 N 𝑅 N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5655an42s 523 . . . . . . . 8 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N)
5756, 12jca 290 . . . . . . 7 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N))
5853, 57anim12i 321 . . . . . 6 ((((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) ((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
5958an4s 522 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
60 enqbreq 6340 . . . . 5 (((((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) N (B ·N 𝐺) N) (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) N (𝐷 ·N 𝑆) N)) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6159, 60syl 14 . . . 4 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6261adantr 261 . . 3 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
6348, 62mpbird 156 . 2 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) ((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
6463ex 108 1 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((A ·N 𝐺) +N (B ·N 𝐹)), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-enq 6331
This theorem is referenced by:  addpipqqs  6354
  Copyright terms: Public domain W3C validator