Theorem 1lt2pi 6438

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6093	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		nna0 6053	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4		0lt1o 6023	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
5		peano1 4317	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 6082	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1232	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
8	4, 7	mpbi 133	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
9	3, 8	eqeltrri 2111	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10		1pi 6413	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		addpiord 6414	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
12	10, 10, 11	mp2an 402	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
13	9, 12	eleqtrri 2113	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14		addclpi 6425	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 402	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16		ltpiord 6417	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
17	10, 15, 16	mp2an 402	. 2 ⊢ (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
18	13, 17	mpbir 134	1 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Syntax hints:   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224   class class class wbr 3764  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994   +_𝑜 coa 5998  Ncnpi 6370   +_N cpli 6371   <_N clti 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-ni 6402  df-pli 6403  df-lti 6405

This theorem is referenced by:  1lt2nq  6504