ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   GIF version

Theorem 1lt2pi 6200
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6004 . . . . 5 1𝑜 𝜔
2 nna0 5968 . . . . 5 (1𝑜 𝜔 → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4 0lt1o 5938 . . . . 5 1𝑜
5 peano1 4244 . . . . . 6 𝜔
6 nnaord 5993 . . . . . 6 ((∅ 𝜔 1𝑜 𝜔 1𝑜 𝜔) → (∅ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
75, 1, 1, 6mp3an 1217 . . . . 5 (∅ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
84, 7mpbi 133 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
93, 8eqeltrri 2093 . . 3 1𝑜 (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10 1pi 6175 . . . 4 1𝑜 N
11 addpiord 6176 . . . 4 ((1𝑜 N 1𝑜 N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
1210, 10, 11mp2an 404 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
139, 12eleqtrri 2095 . 2 1𝑜 (1𝑜 +N 1𝑜)
14 addclpi 6187 . . . 4 ((1𝑜 N 1𝑜 N) → (1𝑜 +N 1𝑜) N)
1510, 10, 14mp2an 404 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) N
16 ltpiord 6179 . . 3 ((1𝑜 N (1𝑜 +N 1𝑜) N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 (1𝑜 +N 1𝑜)))
1710, 15, 16mp2an 404 . 2 (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 (1𝑜 +N 1𝑜))
1813, 17mpbir 134 1 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98   = wceq 1228   wcel 1374  c0 3201   class class class wbr 3738  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1𝑜c1o 5909   +𝑜 coa 5913  Ncnpi 6130   +N cpli 6131   <N clti 6133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-ni 6164  df-pli 6165  df-lti 6167
This theorem is referenced by:  1lt2nq  6264
  Copyright terms: Public domain W3C validator