Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaord Structured version   GIF version

Theorem nnaord 6018
 Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaord ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A B ↔ (𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B)))

Proof of Theorem nnaord
StepHypRef Expression
1 nnaordi 6017 . . 3 ((B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A B → (𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B)))
213adant1 921 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A B → (𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B)))
3 oveq2 5463 . . . . . 6 (A = B → (𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B))
43a1i 9 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A = B → (𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B)))
5 nnaordi 6017 . . . . . 6 ((A 𝜔 𝐶 𝜔) → (B A → (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A)))
653adant2 922 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (B A → (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A)))
74, 6orim12d 699 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((A = B B A) → ((𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A))))
87con3d 560 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (¬ ((𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A)) → ¬ (A = B B A)))
9 df-3an 886 . . . . . 6 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) ↔ ((A 𝜔 B 𝜔) 𝐶 𝜔))
10 ancom 253 . . . . . 6 (((A 𝜔 B 𝜔) 𝐶 𝜔) ↔ (𝐶 𝜔 (A 𝜔 B 𝜔)))
11 anandi 524 . . . . . 6 ((𝐶 𝜔 (A 𝜔 B 𝜔)) ↔ ((𝐶 𝜔 A 𝜔) (𝐶 𝜔 B 𝜔)))
129, 10, 113bitri 195 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) ↔ ((𝐶 𝜔 A 𝜔) (𝐶 𝜔 B 𝜔)))
13 nnacl 5998 . . . . . 6 ((𝐶 𝜔 A 𝜔) → (𝐶 +𝑜 A) 𝜔)
14 nnacl 5998 . . . . . 6 ((𝐶 𝜔 B 𝜔) → (𝐶 +𝑜 B) 𝜔)
1513, 14anim12i 321 . . . . 5 (((𝐶 𝜔 A 𝜔) (𝐶 𝜔 B 𝜔)) → ((𝐶 +𝑜 A) 𝜔 (𝐶 +𝑜 B) 𝜔))
1612, 15sylbi 114 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((𝐶 +𝑜 A) 𝜔 (𝐶 +𝑜 B) 𝜔))
17 nntri2 6012 . . . 4 (((𝐶 +𝑜 A) 𝜔 (𝐶 +𝑜 B) 𝜔) → ((𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B) ↔ ¬ ((𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A))))
1816, 17syl 14 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B) ↔ ¬ ((𝐶 +𝑜 A) = (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 B) (𝐶 +𝑜 A))))
19 nntri2 6012 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B ↔ ¬ (A = B B A)))
20193adant3 923 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A B ↔ ¬ (A = B B A)))
218, 18, 203imtr4d 192 . 2 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B) → A B))
222, 21impbid 120 1 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → (A B ↔ (𝐶 +𝑜 A) (𝐶 +𝑜 B)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +𝑜 coa 5937 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944 This theorem is referenced by:  nnaordr  6019  nnaordex  6036  ltapig  6322  1lt2pi  6324
 Copyright terms: Public domain W3C validator