Theorem 1onn 6093

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6001	. 2 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2		peano1 4317	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 4318	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2110	1 ⊢ 1𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224  suc csuc 4102  ωcom 4313  1_𝑜c1o 5994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-1o 6001

This theorem is referenced by:  2onn  6094  nnm2  6098  nnaordex  6100  snfig  6291  snnen2og  6322  1pi  6413  1lt2pi  6438  indpi  6440  archnqq  6515  nq0m0r  6554  nq02m  6563  prarloclemlt  6591  prarloclemlo  6592