ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig Structured version   GIF version

Theorem nlt1pig 6201
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig (A N → ¬ A <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 6168 . . 3 (A N ↔ (A 𝜔 A ≠ ∅))
21simprbi 260 . 2 (A NA ≠ ∅)
3 noel 3205 . . . . 5 ¬ A
4 1pi 6175 . . . . . . . . 9 1𝑜 N
5 ltpiord 6179 . . . . . . . . 9 ((A N 1𝑜 N) → (A <N 1𝑜A 1𝑜))
64, 5mpan2 403 . . . . . . . 8 (A N → (A <N 1𝑜A 1𝑜))
7 df-1o 5916 . . . . . . . . . 10 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2086 . . . . . . . . 9 (A 1𝑜A suc ∅)
9 elsucg 4090 . . . . . . . . 9 (A N → (A suc ∅ ↔ (A A = ∅)))
108, 9syl5bb 181 . . . . . . . 8 (A N → (A 1𝑜 ↔ (A A = ∅)))
116, 10bitrd 177 . . . . . . 7 (A N → (A <N 1𝑜 ↔ (A A = ∅)))
1211biimpa 280 . . . . . 6 ((A N A <N 1𝑜) → (A A = ∅))
1312ord 630 . . . . 5 ((A N A <N 1𝑜) → (¬ A ∅ → A = ∅))
143, 13mpi 15 . . . 4 ((A N A <N 1𝑜) → A = ∅)
1514ex 108 . . 3 (A N → (A <N 1𝑜A = ∅))
1615necon3ad 2225 . 2 (A N → (A ≠ ∅ → ¬ A <N 1𝑜))
172, 16mpd 13 1 (A N → ¬ A <N 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   = wceq 1228   wcel 1374  wne 2186  c0 3201   class class class wbr 3738  suc csuc 4051  𝜔com 4240  1𝑜c1o 5909  Ncnpi 6130   <N clti 6133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-br 3739  df-opab 3793  df-eprel 4000  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-1o 5916  df-ni 6164  df-lti 6167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator