ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig Structured version   GIF version

Theorem nlt1pig 6325
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig (A N → ¬ A <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 6292 . . 3 (A N ↔ (A 𝜔 A ≠ ∅))
21simprbi 260 . 2 (A NA ≠ ∅)
3 noel 3222 . . . . 5 ¬ A
4 1pi 6299 . . . . . . . . 9 1𝑜 N
5 ltpiord 6303 . . . . . . . . 9 ((A N 1𝑜 N) → (A <N 1𝑜A 1𝑜))
64, 5mpan2 401 . . . . . . . 8 (A N → (A <N 1𝑜A 1𝑜))
7 df-1o 5940 . . . . . . . . . 10 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2101 . . . . . . . . 9 (A 1𝑜A suc ∅)
9 elsucg 4107 . . . . . . . . 9 (A N → (A suc ∅ ↔ (A A = ∅)))
108, 9syl5bb 181 . . . . . . . 8 (A N → (A 1𝑜 ↔ (A A = ∅)))
116, 10bitrd 177 . . . . . . 7 (A N → (A <N 1𝑜 ↔ (A A = ∅)))
1211biimpa 280 . . . . . 6 ((A N A <N 1𝑜) → (A A = ∅))
1312ord 642 . . . . 5 ((A N A <N 1𝑜) → (¬ A ∅ → A = ∅))
143, 13mpi 15 . . . 4 ((A N A <N 1𝑜) → A = ∅)
1514ex 108 . . 3 (A N → (A <N 1𝑜A = ∅))
1615necon3ad 2241 . 2 (A N → (A ≠ ∅ → ¬ A <N 1𝑜))
172, 16mpd 13 1 (A N → ¬ A <N 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  c0 3218   class class class wbr 3755  suc csuc 4068  𝜔com 4256  1𝑜c1o 5933  Ncnpi 6256   <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-eprel 4017  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-1o 5940  df-ni 6288  df-lti 6291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator