Theorem noel 3222

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ A ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3060	. . 3 ⊢ (A ∈ (V ∖ V) → A ∈ V)
2		eldifn 3061	. . 3 ⊢ (A ∈ (V ∖ V) → ¬ A ∈ V)
3	1, 2	pm2.65i 567	. 2 ⊢ ¬ A ∈ (V ∖ V)
4		df-nul 3219	. . 3 ⊢ ∅ = (V ∖ V)
5	4	eleq2i 2101	. 2 ⊢ (A ∈ ∅ ↔ A ∈ (V ∖ V))
6	3, 5	mtbir 595	1 ⊢ ¬ A ∈ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∖ cdif 2908  ∅c0 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-nul 3219

This theorem is referenced by:  n0i  3223  n0rf  3227  rex0  3232  eq0  3233  abvor0dc  3236  rab0  3240  un0  3245  in0  3246  0ss  3249  disj  3262  ral0  3316  int0  3620  iun0  3704  0iun  3705  nlim0  4097  nsuceq0g  4121  ordtriexmidlem  4208  ordtriexmidlem2  4209  ordtriexmid  4210  onsucelsucexmidlem  4214  nn0eln0  4284  0xp  4363  dm0  4492  dm0rn0  4495  reldm0  4496  cnv0  4670  co02  4777  0fv  5151  acexmidlema  5446  acexmidlemb  5447  acexmidlemab  5449  mpt20  5516  nnsucelsuc  6009  nnmordi  6025  nnaordex  6036  0er  6076  elni2  6298  nlt1pig  6325  0npr  6466  fzm1  8732  frec2uzltd  8870  bdcnul  9320  bj-nnelirr  9413