Theorem ltexnqq 6266

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g ℎ y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6207	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3741	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3		oveq1 5443	. . . . . 6 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
4	3	eqeq1d 2030	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
5	4	rexbidv 2305	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
6	2, 5	imbi12d 223	. . 3 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7		breq2 3742	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q B))
8		eqeq2 2031	. . . . 5 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
9	8	rexbidv 2305	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))
10	7, 9	imbi12d 223	. . 3 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q B → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B)))
11		ordpipqqs 6233	. . . 4 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w)))
12		mulclpi 6188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ N ∧ v ∈ N) → (y ·N v) ∈ N)
13		mulclpi 6188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) ∈ N)
14	12, 13	anim12i 321	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
15	14	an42s 510	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
16		ltexpi 6197	. . . . . . 7 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
18		df-rex 2290	. . . . . 6 ⊢ (∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
19	17, 18	syl6bb 185	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
20		simpll 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (y ∈ N ∧ z ∈ N))
21		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → u ∈ N)
22		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → z ∈ N)
23		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → v ∈ N)
24	22, 23	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
25	24	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
26		mulclpi 6188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
28	20, 21, 27	jca32 293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
29	28	adantrr 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
30		addpipqqs 6229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
32		simplll 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → y ∈ N)
33		simpllr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → z ∈ N)
34		simplrr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → v ∈ N)
35		mulcompig 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) = (g ·N f))
36	35	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
37		mulasspig 6192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
38	37	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 5605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v)))
40	39	oveq1d 5451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
41	32, 34, 12	syl2anc 393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N v) ∈ N)
42		simprl 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → u ∈ N)
43		distrpig 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ (y ·N v) ∈ N ∧ u ∈ N) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
45	40, 44	eqtr4d 2057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)))
46	45	opeq1d 3529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
47	46	eceq1d 6053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
48		simpllr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → z ∈ N)
49	12	ad2ant2rl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (y ·N v) ∈ N)
50		addclpi 6187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
51	49, 50	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
52	48, 51, 27	3jca 1069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
53	52	adantrr 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
54		mulcanenqec 6245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
57		3anass 877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ↔ (z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)))
58	57	biimpri 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
59	58	adantll 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
60	59	anim1i 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
61	60	adantrl 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
62		opeq1 3523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
63	62	eceq1d 6053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
64		mulcanenqec 6245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N v) ∈ N)
69		opelxpi 4303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → ⟨u, (z ·N v)⟩ ∈ (N × N))
70		enqex 6219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ~Q ∈ V
71	70	ecelqsi 6071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, (z ·N v)⟩ ∈ (N × N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
73	42, 68, 72	syl2anc 393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
74	73, 1	syl6eleqr 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ Q)
75		oveq2 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
76	75	eqeq1d 2030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
77	76	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
78	74, 77	rspcedv 2637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
80	79	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
81	80	exlimdv 1682	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
82	19, 81	sylbid 139	. . . 4 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
83	11, 82	sylbid 139	. . 3 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6105	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))
85		ltaddnq 6265	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ x ∈ Q) → A <Q (A +Q x))
86		breq2 3742	. . . . 5 ⊢ ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
87	85, 86	syl5ibcom 144	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ x ∈ Q) → ((A +Q x) = B → A <Q B))
88	87	rexlimdva 2411	. . 3 ⊢ (A ∈ Q → (∃x ∈ Q (A +Q x) = B → A <Q B))
89	88	adantr 261	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (∃x ∈ Q (A +Q x) = B → A <Q B))
90	84, 89	impbid 120	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 873   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ∃wrex 2285  ⟨cop 3353   class class class wbr 3738   × cxp 4270  (class class class)co 5436  [cec 6015   / cqs 6016  Ncnpi 6130   +_N cpli 6131   ·_N cmi 6132   <_N clti 6133   ~_Q ceq 6137  Qcnq 6138   +_Q cplq 6140   <_Q cltq 6143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-pli 6165  df-mi 6166  df-lti 6167  df-plpq 6203  df-mpq 6204  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-plqqs 6208  df-mqqs 6209  df-1nqqs 6210  df-ltnqqs 6212

This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6272  prnmaddl  6344  addlocpr  6391  prmuloc  6410  ltexprlemm  6437  ltexprlemopl  6438  ltexprlemopu  6440  ltexprlemloc  6444  ltexprlemrl  6447  ltexprlemru  6449  addcanprlemu  6452