ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Structured version   GIF version

Theorem ltexnqq 6266
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables f g y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6207 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3741 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3 oveq1 5443 . . . . . 6 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
43eqeq1d 2030 . . . . 5 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
54rexbidv 2305 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
62, 5imbi12d 223 . . 3 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7 breq2 3742 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q B))
8 eqeq2 2031 . . . . 5 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
98rexbidv 2305 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (x Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = B))
107, 9imbi12d 223 . . 3 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q Bx Q (A +Q x) = B)))
11 ordpipqqs 6233 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w)))
12 mulclpi 6188 . . . . . . . . 9 ((y N v N) → (y ·N v) N)
13 mulclpi 6188 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z ·N w) N)
1412, 13anim12i 321 . . . . . . . 8 (((y N v N) (z N w N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
1514an42s 510 . . . . . . 7 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
16 ltexpi 6197 . . . . . . 7 (((y ·N v) N (z ·N w) N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
18 df-rex 2290 . . . . . 6 (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1917, 18syl6bb 185 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
20 simpll 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (y N z N))
21 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → u N)
22 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y N z N) → z N)
23 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w N v N) → v N)
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (z N v N))
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N v N))
26 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N v N) → (z ·N v) N)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z ·N v) N)
2820, 21, 27jca32 293 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
2928adantrr 451 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
30 addpipqqs 6229 . . . . . . . . . 10 (((y N z N) (u N (z ·N v) N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
32 simplll 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → y N)
33 simpllr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → z N)
34 simplrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → v N)
35 mulcompig 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
3635adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
37 mulasspig 6192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v)))
4039oveq1d 5451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4132, 34, 12syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N v) N)
42 simprl 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → u N)
43 distrpig 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N (y ·N v) N u N) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4433, 41, 42, 43syl3anc 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4540, 44eqtr4d 2057 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)))
4645opeq1d 3529 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
4746eceq1d 6053 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
48 simpllr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → z N)
4912ad2ant2rl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (y ·N v) N)
50 addclpi 6187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y ·N v) N u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5149, 50sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5248, 51, 273jca 1069 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
5352adantrr 451 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
54 mulcanenqec 6245 . . . . . . . . . . 11 ((z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5647, 55eqtrd 2054 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
57 3anass 877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N w N v N) ↔ (z N (w N v N)))
5857biimpri 124 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N (w N v N)) → (z N w N v N))
5958adantll 448 . . . . . . . . . . . 12 (((y N z N) (w N v N)) → (z N w N v N))
6059anim1i 323 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
6160adantrl 450 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
62 opeq1 3523 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
6362eceq1d 6053 . . . . . . . . . . 11 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
64 mulcanenqec 6245 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N v N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6563, 64sylan9eqr 2076 . . . . . . . . . 10 (((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6731, 56, 663eqtrd 2058 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
6833, 34, 26syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N v) N)
69 opelxpi 4303 . . . . . . . . . . . 12 ((u N (z ·N v) N) → ⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N))
70 enqex 6219 . . . . . . . . . . . . 13 ~Q V
7170ecelqsi 6071 . . . . . . . . . . . 12 (⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((u N (z ·N v) N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7342, 68, 72syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7473, 1syl6eleqr 2113 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q Q)
75 oveq2 5444 . . . . . . . . . . 11 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
7675eqeq1d 2030 . . . . . . . . . 10 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7776adantl 262 . . . . . . . . 9 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7874, 77rspcedv 2637 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
8079ex 108 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8180exlimdv 1682 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → (u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8219, 81sylbid 139 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8311, 82sylbid 139 . . 3 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
841, 6, 10, 832ecoptocl 6105 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
85 ltaddnq 6265 . . . . 5 ((A Q x Q) → A <Q (A +Q x))
86 breq2 3742 . . . . 5 ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
8785, 86syl5ibcom 144 . . . 4 ((A Q x Q) → ((A +Q x) = BA <Q B))
8887rexlimdva 2411 . . 3 (A Q → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
8988adantr 261 . 2 ((A Q B Q) → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
9084, 89impbid 120 1 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285  cop 3353   class class class wbr 3738   × cxp 4270  (class class class)co 5436  [cec 6015   / cqs 6016  Ncnpi 6130   +N cpli 6131   ·N cmi 6132   <N clti 6133   ~Q ceq 6137  Qcnq 6138   +Q cplq 6140   <Q cltq 6143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-pli 6165  df-mi 6166  df-lti 6167  df-plpq 6203  df-mpq 6204  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-plqqs 6208  df-mqqs 6209  df-1nqqs 6210  df-ltnqqs 6212
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6272  prnmaddl  6344  addlocpr  6391  prmuloc  6410  ltexprlemm  6437  ltexprlemopl  6438  ltexprlemopu  6440  ltexprlemloc  6444  ltexprlemrl  6447  ltexprlemru  6449  addcanprlemu  6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator