Theorem ltexnqq 6391

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g ℎ y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6332	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3758	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3		oveq1 5462	. . . . . 6 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
4	3	eqeq1d 2045	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
5	4	rexbidv 2321	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
6	2, 5	imbi12d 223	. . 3 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7		breq2 3759	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q B))
8		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
9	8	rexbidv 2321	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))
10	7, 9	imbi12d 223	. . 3 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q B → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B)))
11		ordpipqqs 6358	. . . 4 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w)))
12		mulclpi 6312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ N ∧ v ∈ N) → (y ·N v) ∈ N)
13		mulclpi 6312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) ∈ N)
14	12, 13	anim12i 321	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
15	14	an42s 523	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
16		ltexpi 6321	. . . . . . 7 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
18		df-rex 2306	. . . . . 6 ⊢ (∃u ∈ N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
19	17, 18	syl6bb 185	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
20		simpll 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (y ∈ N ∧ z ∈ N))
21		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → u ∈ N)
22		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → z ∈ N)
23		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → v ∈ N)
24	22, 23	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
25	24	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
26		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
28	20, 21, 27	jca32 293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
29	28	adantrr 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
30		addpipqqs 6354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
32		simplll 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → y ∈ N)
33		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → z ∈ N)
34		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → v ∈ N)
35		mulcompig 6315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) = (g ·N f))
36	35	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
37		mulasspig 6316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
38	37	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 5624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v)))
40	39	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
41	32, 34, 12	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N v) ∈ N)
42		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → u ∈ N)
43		distrpig 6317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ (y ·N v) ∈ N ∧ u ∈ N) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
45	40, 44	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)))
46	45	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
47	46	eceq1d 6078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
48		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → z ∈ N)
49	12	ad2ant2rl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (y ·N v) ∈ N)
50		addclpi 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
51	49, 50	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
52	48, 51, 27	3jca 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
53	52	adantrr 448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
54		mulcanenqec 6370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
57		3anass 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ↔ (z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)))
58	57	biimpri 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
59	58	adantll 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
60	59	anim1i 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
61	60	adantrl 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
62		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
63	62	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
64		mulcanenqec 6370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2073	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N v) ∈ N)
69		opelxpi 4319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → ⟨u, (z ·N v)⟩ ∈ (N × N))
70		enqex 6344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ~Q ∈ V
71	70	ecelqsi 6096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, (z ·N v)⟩ ∈ (N × N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
73	42, 68, 72	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
74	73, 1	syl6eleqr 2128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ Q)
75		oveq2 5463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
76	75	eqeq1d 2045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
77	76	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) ∧ x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
78	74, 77	rspcedv 2654	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
80	79	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
81	80	exlimdv 1697	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
82	19, 81	sylbid 139	. . . 4 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
83	11, 82	sylbid 139	. . 3 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x ∈ Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6130	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))
85		ltaddnq 6390	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ x ∈ Q) → A <Q (A +Q x))
86		breq2 3759	. . . . 5 ⊢ ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
87	85, 86	syl5ibcom 144	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ x ∈ Q) → ((A +Q x) = B → A <Q B))
88	87	rexlimdva 2427	. . 3 ⊢ (A ∈ Q → (∃x ∈ Q (A +Q x) = B → A <Q B))
89	88	adantr 261	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (∃x ∈ Q (A +Q x) = B → A <Q B))
90	84, 89	impbid 120	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A +Q x) = B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   +_N cpli 6257   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   +_Q cplq 6266   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltexnqi  6392  addlocpr  6519  ltexprlemopl  6573  ltexprlemopu  6575  ltexprlemrl  6582  ltexprlemru  6584