ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Structured version   GIF version

Theorem ltexnqq 6253
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables f g y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6194 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3731 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3 oveq1 5432 . . . . . 6 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
43eqeq1d 2022 . . . . 5 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
54rexbidv 2297 . . . 4 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
62, 5imbi12d 223 . . 3 ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7 breq2 3732 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~QA <Q B))
8 eqeq2 2023 . . . . 5 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
98rexbidv 2297 . . . 4 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (x Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = B))
107, 9imbi12d 223 . . 3 ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q Bx Q (A +Q x) = B)))
11 ordpipqqs 6220 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w)))
12 mulclpi 6175 . . . . . . . . 9 ((y N v N) → (y ·N v) N)
13 mulclpi 6175 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z ·N w) N)
1412, 13anim12i 321 . . . . . . . 8 (((y N v N) (z N w N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
1514an42s 508 . . . . . . 7 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) N (z ·N w) N))
16 ltexpi 6184 . . . . . . 7 (((y ·N v) N (z ·N w) N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
18 df-rex 2282 . . . . . 6 (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
1917, 18syl6bb 185 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
20 simpll 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (y N z N))
21 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → u N)
22 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y N z N) → z N)
23 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w N v N) → v N)
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (z N v N))
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N v N))
26 mulclpi 6175 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N v N) → (z ·N v) N)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z ·N v) N)
2820, 21, 27jca32 293 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
2928adantrr 448 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y N z N) (u N (z ·N v) N)))
30 addpipqqs 6216 . . . . . . . . . 10 (((y N z N) (u N (z ·N v) N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
32 simplll 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → y N)
33 simpllr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → z N)
34 simplrr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → v N)
35 mulcompig 6178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
3635adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
37 mulasspig 6179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v)))
4039oveq1d 5440 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4132, 34, 12syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (y ·N v) N)
42 simprl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → u N)
43 distrpig 6180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N (y ·N v) N u N) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4433, 41, 42, 43syl3anc 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u)))
4540, 44eqtr4d 2049 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)))
4645opeq1d 3519 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
4746eceq1d 6042 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
48 simpllr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → z N)
4912ad2ant2rl 465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y N z N) (w N v N)) → (y ·N v) N)
50 addclpi 6174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y ·N v) N u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5149, 50sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → ((y ·N v) +N u) N)
5248, 51, 273jca 1066 . . . . . . . . . . . 12 ((((y N z N) (w N v N)) u N) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
5352adantrr 448 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N))
54 mulcanenqec 6232 . . . . . . . . . . 11 ((z N ((y ·N v) +N u) N (z ·N v) N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
5647, 55eqtrd 2046 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
57 3anass 871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z N w N v N) ↔ (z N (w N v N)))
5857biimpri 124 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N (w N v N)) → (z N w N v N))
5958adantll 445 . . . . . . . . . . . 12 (((y N z N) (w N v N)) → (z N w N v N))
6059anim1i 323 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
6160adantrl 447 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
62 opeq1 3513 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
6362eceq1d 6042 . . . . . . . . . . 11 (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
64 mulcanenqec 6232 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N v N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6563, 64sylan9eqr 2068 . . . . . . . . . 10 (((z N w N v N) ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
6731, 56, 663eqtrd 2050 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
6833, 34, 26syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ·N v) N)
69 opelxpi 4292 . . . . . . . . . . . 12 ((u N (z ·N v) N) → ⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N))
70 enqex 6206 . . . . . . . . . . . . 13 ~Q V
7170ecelqsi 6060 . . . . . . . . . . . 12 (⟨u, (z ·N v)⟩ (N × N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((u N (z ·N v) N) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7342, 68, 72syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
7473, 1syl6eleqr 2105 . . . . . . . . 9 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q Q)
75 oveq2 5433 . . . . . . . . . . 11 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
7675eqeq1d 2022 . . . . . . . . . 10 (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7776adantl 262 . . . . . . . . 9 (((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7874, 77rspcedv 2629 . . . . . . . 8 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 ((((y N z N) (w N v N)) (u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
8079ex 108 . . . . . 6 (((y N z N) (w N v N)) → ((u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8180exlimdv 1674 . . . . 5 (((y N z N) (w N v N)) → (u(u N ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8219, 81sylbid 139 . . . 4 (((y N z N) (w N v N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → x Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
8311, 82sylbid 139 . . 3 (((y N z N) (w N v N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Qx Q ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
841, 6, 10, 832ecoptocl 6094 . 2 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
85 ltaddnq 6252 . . . . 5 ((A Q x Q) → A <Q (A +Q x))
86 breq2 3732 . . . . 5 ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
8785, 86syl5ibcom 144 . . . 4 ((A Q x Q) → ((A +Q x) = BA <Q B))
8887rexlimdva 2403 . . 3 (A Q → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
8988adantr 261 . 2 ((A Q B Q) → (x Q (A +Q x) = BA <Q B))
9084, 89impbid 120 1 ((A Q B Q) → (A <Q Bx Q (A +Q x) = B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1224  wex 1355   wcel 1367  wrex 2277  cop 3343   class class class wbr 3728   × cxp 4259  (class class class)co 5425  [cec 6004   / cqs 6005  Ncnpi 6119   +N cpli 6120   ·N cmi 6121   <N clti 6122   ~Q ceq 6126  Qcnq 6127   +Q cplq 6129   <Q cltq 6132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-13 1378  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-coll 3836  ax-sep 3839  ax-nul 3847  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-un 4109  ax-setind 4193  ax-iinf 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-csb 2822  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-nul 3194  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-int 3580  df-iun 3623  df-br 3729  df-opab 3783  df-mpt 3784  df-tr 3819  df-eprel 3990  df-id 3994  df-iord 4042  df-on 4044  df-suc 4047  df-iom 4230  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-rn 4272  df-res 4273  df-ima 4274  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fn 4821  df-f 4822  df-f1 4823  df-fo 4824  df-f1o 4825  df-fv 4826  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-1st 5679  df-2nd 5680  df-recs 5831  df-irdg 5867  df-1o 5905  df-oadd 5909  df-omul 5910  df-er 6006  df-ec 6008  df-qs 6012  df-ni 6151  df-pli 6152  df-mi 6153  df-lti 6154  df-plpq 6190  df-mpq 6191  df-enq 6193  df-nqqs 6194  df-plqqs 6195  df-mqqs 6196  df-1nqqs 6197  df-ltnqqs 6199
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6259  prnmaddl  6331  addlocpr  6378  prmuloc  6397  ltexprlemm  6424  ltexprlemopl  6425  ltexprlemopu  6427  ltexprlemloc  6431  ltexprlemrl  6434  ltexprlemru  6436  addcanprlemu  6439  aptiprleml  6461  aptiprlemu  6462
  Copyright terms: Public domain W3C validator