ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Structured version   GIF version

Theorem archnqq 6274
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (A Qx N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6237 . 2 (A Qzw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
2 1pi 6175 . . . . . . 7 1𝑜 N
3 addclpi 6187 . . . . . . 7 ((z N 1𝑜 N) → (z +N 1𝑜) N)
42, 3mpan2 403 . . . . . 6 (z N → (z +N 1𝑜) N)
54adantr 261 . . . . 5 ((z N w N) → (z +N 1𝑜) N)
65adantr 261 . . . 4 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → (z +N 1𝑜) N)
7 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (z Nz 𝜔)
8 1onn 6004 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 𝜔
9 nnacl 5974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z 𝜔 1𝑜 𝜔) → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
107, 8, 9sylancl 394 . . . . . . . . . . . . 13 (z N → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
1110adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
12 nnm1 6008 . . . . . . . . . . . 12 ((z +𝑜 1𝑜) 𝜔 → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6174 . . . . . . . . . . . . . 14 (w N ↔ (w 𝜔 w))
15 nnord 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w 𝜔 → Ord w)
16 ordgt0ge1 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord w → (∅ w ↔ 1𝑜w))
1716biimpa 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord w w) → 1𝑜w)
1815, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((w 𝜔 w) → 1𝑜w)
1914, 18sylbi 114 . . . . . . . . . . . . 13 (w N → 1𝑜w)
2019adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → 1𝑜w)
21 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
2221adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → w 𝜔)
23 nnaword1 5997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((z 𝜔 1𝑜 𝜔) → z ⊆ (z +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z Nz ⊆ (z +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z N ↔ (z 𝜔 z))
2625simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z N → ∅ z)
2724, 26sseldd 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 (z N → ∅ (z +𝑜 1𝑜))
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → ∅ (z +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 𝜔 w 𝜔 (z +𝑜 1𝑜) 𝜔) (z +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
308, 29mp3anl1 1211 . . . . . . . . . . . . 13 (((w 𝜔 (z +𝑜 1𝑜) 𝜔) (z +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
3220, 31mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
3313, 32eqsstr3d 2957 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z +𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
34 nna0 5968 . . . . . . . . . . . . 13 (z 𝜔 → (z +𝑜 ∅) = z)
35 0lt1o 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜
36 nnaordi 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 𝜔 z 𝜔) → (∅ 1𝑜 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (z 𝜔 → (∅ 1𝑜 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (z 𝜔 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . 12 (z 𝜔 → z (z +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (z Nz (z +𝑜 1𝑜))
4140adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → z (z +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 2923 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
43 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . 12 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) N)
444, 43sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) N)
45 ltpiord 6179 . . . . . . . . . . 11 ((z N ((z +N 1𝑜) ·N w) N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +N 1𝑜) ·N w)))
4644, 45syldan 266 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +N 1𝑜) ·N w)))
47 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . 13 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w))
484, 47sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w))
49 addpiord 6176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z N 1𝑜 N) → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (z N → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
5150adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5451 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w) = ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
5348, 52eqtrd 2054 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
5453eleq2d 2089 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
5546, 54bitrd 177 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
5642, 55mpbird 156 . . . . . . . 8 ((z N w N) → z <N ((z +N 1𝑜) ·N w))
57 mulcompig 6191 . . . . . . . . . 10 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = (w ·N (z +N 1𝑜)))
584, 57sylan 267 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = (w ·N (z +N 1𝑜)))
5958breq2d 3750 . . . . . . . 8 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 135 . . . . . . 7 ((z N w N) → z <N (w ·N (z +N 1𝑜)))
615, 2jctir 296 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) N 1𝑜 N))
62 ordpipqqs 6233 . . . . . . . . 9 (((z N w N) ((z +N 1𝑜) N 1𝑜 N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 400 . . . . . . . 8 ((z N w N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6178 . . . . . . . . . 10 (z N → (z ·N 1𝑜) = z)
6564adantr 261 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z ·N 1𝑜) = z)
6665breq1d 3748 . . . . . . . 8 ((z N w N) → ((z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜)) ↔ z <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 177 . . . . . . 7 ((z N w N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Qz <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 156 . . . . . 6 ((z N w N) → [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 261 . . . . 5 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3741 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q → (A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 262 . . . . 5 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → (A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 156 . . . 4 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3523 . . . . . . 7 (x = (z +N 1𝑜) → ⟨x, 1𝑜⟩ = ⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6053 . . . . . 6 (x = (z +N 1𝑜) → [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3750 . . . . 5 (x = (z +N 1𝑜) → (A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~QA <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2633 . . . 4 (((z +N 1𝑜) N A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 393 . . 3 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1758 . 2 (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (A Qx N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285  wss 2894  c0 3201  cop 3353   class class class wbr 3738  Ord word 4048  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1𝑜c1o 5909   +𝑜 coa 5913   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   +N cpli 6131   ·N cmi 6132   <N clti 6133   ~Q ceq 6137  Qcnq 6138   <Q cltq 6143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-pli 6165  df-mi 6166  df-lti 6167  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-ltnqqs 6212
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6275  nqprm  6397
  Copyright terms: Public domain W3C validator