ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Structured version   GIF version

Theorem archnqq 6400
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (A Qx N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . 2 (A Qzw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
2 1pi 6299 . . . . . . 7 1𝑜 N
3 addclpi 6311 . . . . . . 7 ((z N 1𝑜 N) → (z +N 1𝑜) N)
42, 3mpan2 401 . . . . . 6 (z N → (z +N 1𝑜) N)
54adantr 261 . . . . 5 ((z N w N) → (z +N 1𝑜) N)
65adantr 261 . . . 4 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → (z +N 1𝑜) N)
7 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (z Nz 𝜔)
8 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 𝜔
9 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z 𝜔 1𝑜 𝜔) → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 (z N → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
1110adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → (z +𝑜 1𝑜) 𝜔)
12 nnm1 6033 . . . . . . . . . . . 12 ((z +𝑜 1𝑜) 𝜔 → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14 (w N ↔ (w 𝜔 w))
15 nnord 4277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w 𝜔 → Ord w)
16 ordgt0ge1 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord w → (∅ w ↔ 1𝑜w))
1716biimpa 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord w w) → 1𝑜w)
1815, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((w 𝜔 w) → 1𝑜w)
1914, 18sylbi 114 . . . . . . . . . . . . 13 (w N → 1𝑜w)
2019adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → 1𝑜w)
21 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
2221adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → w 𝜔)
23 nnaword1 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((z 𝜔 1𝑜 𝜔) → z ⊆ (z +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z Nz ⊆ (z +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z N ↔ (z 𝜔 z))
2625simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z N → ∅ z)
2724, 26sseldd 2940 . . . . . . . . . . . . . 14 (z N → ∅ (z +𝑜 1𝑜))
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → ∅ (z +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6027 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 𝜔 w 𝜔 (z +𝑜 1𝑜) 𝜔) (z +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
308, 29mp3anl1 1225 . . . . . . . . . . . . 13 (((w 𝜔 (z +𝑜 1𝑜) 𝜔) (z +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → (1𝑜w ↔ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
3220, 31mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
3313, 32eqsstr3d 2974 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z +𝑜 1𝑜) ⊆ ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
34 nna0 5992 . . . . . . . . . . . . 13 (z 𝜔 → (z +𝑜 ∅) = z)
35 0lt1o 5962 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜
36 nnaordi 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 𝜔 z 𝜔) → (∅ 1𝑜 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14 (z 𝜔 → (∅ 1𝑜 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (z 𝜔 → (z +𝑜 ∅) (z +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . 12 (z 𝜔 → z (z +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (z Nz (z +𝑜 1𝑜))
4140adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → z (z +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 2940 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
43 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . 12 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) N)
444, 43sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) N)
45 ltpiord 6303 . . . . . . . . . . 11 ((z N ((z +N 1𝑜) ·N w) N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +N 1𝑜) ·N w)))
4644, 45syldan 266 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +N 1𝑜) ·N w)))
47 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w))
484, 47sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w))
49 addpiord 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z N 1𝑜 N) → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (z N → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
5150adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N w N) → (z +N 1𝑜) = (z +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·𝑜 w) = ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
5348, 52eqtrd 2069 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w))
5453eleq2d 2104 . . . . . . . . . 10 ((z N w N) → (z ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
5546, 54bitrd 177 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z ((z +𝑜 1𝑜) ·𝑜 w)))
5642, 55mpbird 156 . . . . . . . 8 ((z N w N) → z <N ((z +N 1𝑜) ·N w))
57 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 (((z +N 1𝑜) N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = (w ·N (z +N 1𝑜)))
584, 57sylan 267 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) ·N w) = (w ·N (z +N 1𝑜)))
5958breq2d 3767 . . . . . . . 8 ((z N w N) → (z <N ((z +N 1𝑜) ·N w) ↔ z <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 135 . . . . . . 7 ((z N w N) → z <N (w ·N (z +N 1𝑜)))
615, 2jctir 296 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → ((z +N 1𝑜) N 1𝑜 N))
62 ordpipqqs 6358 . . . . . . . . 9 (((z N w N) ((z +N 1𝑜) N 1𝑜 N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 398 . . . . . . . 8 ((z N w N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6302 . . . . . . . . . 10 (z N → (z ·N 1𝑜) = z)
6564adantr 261 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z ·N 1𝑜) = z)
6665breq1d 3765 . . . . . . . 8 ((z N w N) → ((z ·N 1𝑜) <N (w ·N (z +N 1𝑜)) ↔ z <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 177 . . . . . . 7 ((z N w N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Qz <N (w ·N (z +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 156 . . . . . 6 ((z N w N) → [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 261 . . . . 5 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3758 . . . . . 6 (A = [⟨z, w⟩] ~Q → (A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 262 . . . . 5 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → (A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 156 . . . 4 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3540 . . . . . . 7 (x = (z +N 1𝑜) → ⟨x, 1𝑜⟩ = ⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6078 . . . . . 6 (x = (z +N 1𝑜) → [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3767 . . . . 5 (x = (z +N 1𝑜) → (A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~QA <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2650 . . . 4 (((z +N 1𝑜) N A <Q [⟨(z +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1773 . 2 (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) → x N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (A Qx N A <Q [⟨x, 1𝑜⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911  c0 3218  cop 3370   class class class wbr 3755  Ord word 4065  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6401  nqprm  6524  archpr  6614
  Copyright terms: Public domain W3C validator