Theorem archrecnq 6761

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 6490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		archnqq 6515	. . 3 ⊢ ((*Q‘𝐴) ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q )
4		nnnq 6520	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ N → [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
5		ltrnqg 6518	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
6	1, 4, 5	syl2an 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
7		recrecnq 6492	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)
8	7	breq2d 3776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
9	8	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
10	6, 9	bitrd 177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
11	10	rexbidva 2323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ↔ ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
12	3, 11	mpbid 135	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  1_𝑜c1o 5994  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~_Q ceq 6377  Qcnq 6378  *_Qcrq 6382   <_Q cltq 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451

This theorem is referenced by:  archrecpr  6762  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemlim  6779  caucvgprprlemml  6792  caucvgprprlemloc  6801