ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Structured version   Unicode version

Theorem archnqq 6400
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq  Q.  N.  <Q  <. ,  1o >.  ~Q
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . 2  Q.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
2 1pi 6299 . . . . . . 7  1o  N.
3 addclpi 6311 . . . . . . 7  N.  1o  N.  +N  1o  N.
42, 3mpan2 401 . . . . . 6  N.  +N  1o 
N.
54adantr 261 . . . . 5  N.  N.  +N  1o  N.
65adantr 261 . . . 4  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +N  1o  N.
7 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  om
8 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  om
9 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14  om  1o  om  +o  1o  om
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  N.  +o  1o 
om
1110adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  +o  1o  om
12 nnm1 6033 . . . . . . . . . . . 12  +o  1o  om  +o  1o  .o  1o  +o  1o
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  +o  1o  .o  1o  +o  1o
14 elni2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  om  (/)
15 nnord 4277 . . . . . . . . . . . . . . 15  om  Ord
16 ordgt0ge1 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Ord  (/)  1o  C_
1716biimpa 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  Ord  (/)  1o  C_
1815, 17sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14  om  (/)  1o  C_
1914, 18sylbi 114 . . . . . . . . . . . . 13  N.  1o  C_
2019adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  1o  C_
21 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  om
2221adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  om
23 nnaword1 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  om  1o  om  C_  +o  1o
247, 8, 23sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  C_  +o  1o
25 elni2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N.  om  (/)
2625simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  (/)
2724, 26sseldd 2940 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  (/)  +o  1o
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N. 
(/)  +o  1o
29 nnmword 6027 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  om  om  +o  1o  om  (/)  +o  1o  1o  C_  +o  1o  .o  1o  C_  +o  1o  .o
308, 29mp3anl1 1225 . . . . . . . . . . . . 13  om  +o  1o  om  (/)  +o  1o  1o  C_  +o  1o  .o  1o  C_  +o  1o  .o
3122, 11, 28, 30syl21anc 1133 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  1o  C_  +o  1o  .o  1o  C_  +o  1o  .o
3220, 31mpbid 135 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  +o  1o  .o  1o  C_  +o  1o  .o
3313, 32eqsstr3d 2974 . . . . . . . . . 10  N.  N.  +o  1o  C_  +o  1o  .o
34 nna0 5992 . . . . . . . . . . . . 13  om  +o  (/)
35 0lt1o 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  (/)  1o
36 nnaordi 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  1o  om  om  (/)  1o  +o  (/)  +o  1o
378, 36mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14  om  (/)  1o  +o  (/)  +o  1o
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13  om  +o  (/)  +o  1o
3934, 38eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . 12  om  +o  1o
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  N.  +o  1o
4140adantr 261 . . . . . . . . . 10  N.  N.  +o  1o
4233, 41sseldd 2940 . . . . . . . . 9  N.  N.  +o  1o  .o
43 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . 12  +N  1o  N.  N.  +N  1o  .N 
N.
444, 43sylan 267 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  +N  1o  .N  N.
45 ltpiord 6303 . . . . . . . . . . 11  N.  +N  1o  .N 
N.  <N  +N  1o  .N  +N  1o  .N
4644, 45syldan 266 . . . . . . . . . 10  N.  N.  <N  +N  1o  .N  +N  1o  .N
47 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13  +N  1o  N.  N.  +N  1o  .N  +N  1o  .o
484, 47sylan 267 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  +N  1o  .N  +N  1o  .o
49 addpiord 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  N.  1o  N.  +N  1o  +o  1o
502, 49mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  +N  1o  +o  1o
5150adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  +N  1o  +o  1o
5251oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  +N  1o  .o  +o  1o  .o
5348, 52eqtrd 2069 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  +N  1o  .N  +o  1o  .o
5453eleq2d 2104 . . . . . . . . . 10  N.  N.  +N  1o  .N  +o  1o  .o
5546, 54bitrd 177 . . . . . . . . 9  N.  N.  <N  +N  1o  .N  +o  1o  .o
5642, 55mpbird 156 . . . . . . . 8  N.  N.  <N  +N  1o  .N
57 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10  +N  1o  N.  N.  +N  1o  .N  .N  +N  1o
584, 57sylan 267 . . . . . . . . 9  N.  N.  +N  1o  .N  .N  +N  1o
5958breq2d 3767 . . . . . . . 8  N.  N.  <N  +N  1o  .N  <N  .N  +N  1o
6056, 59mpbid 135 . . . . . . 7  N.  N.  <N  .N  +N  1o
615, 2jctir 296 . . . . . . . . 9  N.  N.  +N  1o  N.  1o  N.
62 ordpipqqs 6358 . . . . . . . . 9  N.  N.  +N  1o  N.  1o  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >. 
~Q  .N  1o  <N  .N  +N  1o
6361, 62mpdan 398 . . . . . . . 8  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<.  +N  1o ,  1o >.  ~Q  .N  1o  <N  .N  +N  1o
64 mulidpi 6302 . . . . . . . . . 10  N.  .N  1o
6564adantr 261 . . . . . . . . 9  N.  N.  .N  1o
6665breq1d 3765 . . . . . . . 8  N.  N.  .N  1o  <N  .N  +N  1o  <N  .N  +N  1o
6763, 66bitrd 177 . . . . . . 7  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<.  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <N  .N  +N  1o
6860, 67mpbird 156 . . . . . 6  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
6968adantr 261 . . . . 5  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
70 breq1 3758 . . . . . 6  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
7170adantl 262 . . . . 5  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<.  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
7269, 71mpbird 156 . . . 4  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
73 opeq1 3540 . . . . . . 7  +N  1o  <. ,  1o >.  <.  +N  1o ,  1o >.
7473eceq1d 6078 . . . . . 6  +N  1o  <. ,  1o >.  ~Q  <.  +N  1o ,  1o >. 
~Q
7574breq2d 3767 . . . . 5  +N  1o  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  <Q 
<.  +N  1o ,  1o >.  ~Q
7675rspcev 2650 . . . 4  +N  1o  N.  <Q  <.  +N  1o ,  1o >. 
~Q  N.  <Q  <. ,  1o >.  ~Q
776, 72, 76syl2anc 391 . . 3  N.  N.  <. ,  >.  ~Q 
N.  <Q  <. ,  1o >.  ~Q
7877exlimivv 1773 . 2  N.  N.  <. ,  >.  ~Q 
N.  <Q  <. ,  1o >.  ~Q
791, 78syl 14 1  Q.  N.  <Q  <. ,  1o >.  ~Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301    C_ wss 2911   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755   Ord word 4065   omcom 4256  (class class class)co 5455   1oc1o 5933    +o coa 5937    .o comu 5938  cec 6040   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    .N cmi 6258    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6401  nqprm  6525  archpr  6615  archrecnq  6635
  Copyright terms: Public domain W3C validator